Hallo,
Kannst du mir bitte bei meiner aktuellen Frage helfen.
.. es ist immer von Vorteil, wenn Du konkret schreibst, was genau Du nicht verstanden hast!
In dieser Ungleichungx+2∣x+4∣−1>x−24−∣x∣+3x2kommen zwei Betragsfunktionen vor. Daraus ergeben sich die Stellen x=−4 und x=0 an denen ein Vorzeichenwechsel geschieht. Also sind drei Fälle zu unterscheiden.
Fall 1: x<−4 hier lautet die Gleichungx+2⋅(−(x+4))−1x−2x−8−1−x−9(−x−9)(x−2)−x2−7x+18000029>x−24−(−x)+3x2>x−24+x+3x2>x−24+x+3x2<4+x+3x2<4+x+3x2<4x2+8x−14<x2+2x−27<x2+2x+1−1−27<(x+1)2−29<(x+1)2∣⋅(x−2) 1)∣−(−x2−7x+18)∣÷4∣2)∣+29und da x<−4 ist (x+1)2>32 und damit auch >9/2. Der erste Teil der Lösungsmenge ist somitL1={x∈R : x<−4}zu 1) Beachte bitte, dass bei der Multiplikation mit (x−2) der >-Operator 'umgedreht' wurde, da (x−2) im Fall 1 immer einen negativen Wert hat.
zu 2) hier habe ich eine quadratische Ergänzung angewendet.
Fall 2: −4≤x<0 hier lautet die Gleichungx+2(x+4)−1x+2x+8−13x+7(3x+7)(x−2)3x2+x−140>x−24−(−x)+3x2>x−24+x+3x2>x−24+x+3x2<4+x+3x2<4+x+3x2<18∣⋅(x−2)∣−(3x2+x−14)das ist unabhängig von x immer erfüllt. Folglich ist der zweite Teil der Lösungsmenge L2={x∈R : −4≤x<0}
Beim dritten Teil müssen wir bei der Multiplikation mit (x−2) unterscheiden, ob dieser Term kleiner oder größer 0 ist. Der Fall x=2 liegt nicht in der Definitionsmenge. Also betrachte ich zunächst
Fall 3a 0≤x<2 hier lautet die Gleichungx+2(x+4)−1x+2x+8−13x+7(3x+7)(x−2)3x2+x−1402xx>x−24−x+3x2>x−24−x+3x2>x−24−x+3x2<4−x+3x2<4−x+3x2<−2x+18<18<9∣⋅(x−2)∣−(3x2+x−14)∣+2x∣÷2das ist für diesen Fall auch erfüllt. AlsoL3a={x∈R : 0≤x<2}
Fall 3b x>2 die Rechnung ist identisch zum Fall 3a, aber der >-Operator wird nicht gedreht. Demnach kommt man raus mitx>9und das gilt natürlicher Weise nur für x>9. Die letzte Lösungsmenge istL3b={x∈R : x>9}alles zusammen gibt das L={x∈R : x<2∨9<x}der Plot zeigt nochmal das Ergebnis
Plotlux öffnen f1(x) = x+2·abs(x+4)-1f2(x) = (4-abs(x)+3x2)/(x-2)Zoom: x(-15…20) y(-12…50)x = 2x = 9
außerhalb der grünen und rosanen Vertikalen liegt dar blaue Graph (die linke Seite) oberhalb des roten Graphen (der rechten Seite der Ungleichung)