Gleichung der Tangentialebene an eine Kugel, vektorieller Beweis

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie:

Die Tangente t an die Kugel K: (\( \vec{x} \) - \( \vec{m} \))² = r² im Punkt B(b₁|b₂|b₃) mit dem Ortsvektor \( \vec{b} \) hat die Gleichung: (\( \vec{x} \) - \( \vec{m} \)) • (\( \vec{b} \) - \( \vec{m} \)) = r²

Hinweis: Gehen Sie davon aus, dass die Tangente (d.h. die Tangentialebene) senkrecht auf dem Berührungsradius steht, dass also gilt: (\( \vec{x} \) - \( \vec{b} \)) • (\( \vec{b} \) - \( \vec{m} \)) = 0

Problem/Ansatz:

Zuerst habe ich versucht, die Geradengleichung für t aufzustellen, um dann diese mit Vektoren aufzuschreiben und so umzuschreiben, dass ich auf die zu zeigende Gleichung komme. Das ging aber schief, denn die Parameterform der Gleichung die ich hatte, t: \( \vec{x} \) = \( \vec{b} \) + t(\( \vec{x} \) - \( \vec{b} \)) hatte einen Parameter, was bei der zu zeigenden Gleichung nicht der Fall ist. Ich vermute, dass die zu zeigende Gleichung eine Koordinatenform einer Ebene ist.

Als zweites habe ich die linke Seite der zu zeigenden Gleichung ausmultipliziert, um zu sehen, ob ich irgendwo die Kreisgleichung einsetzen kann. Auch hier hat das nicht funktioniert, ich habe nur Terme, in denen einzelne Vektoren (skalar-)multipliziert werden, und in der Kreisgleichung wird eine Differenz (skalar-)multipliziert.

Ich bedanke mich für alle Anregungen im Voraus und melde mich, wenn ich es weiter schaffe

Answer 1

Ich habe eine Tafelanschrieb zur Besprechung dieser Aufgabe gefunden, für die die es interessiert:

\( \vec{BX} \) • \( \vec{BM} \) = 0  (Bedingung)

\( \vec{MX} \) • \( \vec{MB} \) = (\( \vec{MB} \) + \( \vec{BX} \)) • \( \vec{MB} \) 

= \( \vec{MB} \)² + \( \vec{BX} \) • \( \vec{MB} \) = |\( \vec{MB} \)|² + 0 (siehe Bedingung) = r²

^{Weil ich nicht weiß wie ich diesen Post als beantwortet markiere oder lösche, bleibt wohl diese selbstbeantwortete Frage für immer hier}

Comments

Meiner Meinung nach sollte in dieser Aufgabe statt von einer "Tangente" unbedingt von einer "Tangentialebene" die Rede sein !

Unter einer Tangente versteht man in der Regel stets eine Gerade. In einem Punkt B einer (3D-) Kugel gibt es deshalb nicht nur eine, sondern unendlich viele mögliche Tangenten.

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Danke für deine eigene Rückmeldung, die ich nun in eine Antwort umgewandelt habe. Das hilft allenfalls künftigen Leidensgenoss*innen.

@rumar: Tangentialebene in die Fragestellung eingebaut.

Answer 2

Für den Nachweis könnte man so vorgehen:

(ich schreibe alle Vektoren ohne Pfeile):

Wir können von der zunächst vorliegenden Gleichung (für die Tangentialebene T) ausgehen:

T:   (x - b) · (b - m) = 0

Da der Punkt B (mit dem Ortsvektor b) selbst auf der Kugeloberfläche K liegt, muss außerdem gelten:

NB:   (b - m) · (b - m) = r²

Wegen b = m + (b-m)  kann man die erste Gleichung (für die Ebene T)  auch so schreiben:

 [x -  (m + (b - m))] · (b - m) = 0

[(x - m) - (b - m)] · (b - m) = 0

(x - m) · (b - m) - (b - m) · (b - m) = 0

Wegen der Nebenbedingung NB ist dies äquivalent zu:

(x-m) · (b-m) - r² = 0

oder:

(x-m) · (b-m) = r²