Aufgabe zu Funktionen/Graph/Ableitung

Question

Aufgabe:

Zeichne Graph Gf der Fkt f(x)= Wurzel 4-x²  ; Df = [-2; 2] sowie die Tangente tp an Graphpunkt P (1| f(1))

a) Begründen Sie das Gf ein Halbkreis ist

b) Ermitteln Sie die Steigung der Tangente tp auf 2 verschiedene Arten

c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks das von Tp und den beiden Koordinatenachsen berandet wird

Problem/Ansatz:

Ich weiss ehrlich nicht wie ich überhaupt vorgehen soll...ich verstehs meistens nur wenn ich nen Rechenweg vor mir hab den ich nachvollziehen kann

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Aufgabe zu Halbkreis/Begründung/Funktion/Ableitung

Stichworte: halbkreis,begründung,funktion,umkehrfunktion,ableitungen

Aufgabe:

Zeichne Graph Gf der Fkt f(x)= Wurzel 4-x²  ; Df = [-2; 2] sowie die Tangente tp an Graphpunkt P (1| f(1))

a) Begründen Sie das Gf ein Halbkreis ist

Ich nehme an das wir dies rechnerisch und "schriftlich" begründen sollen.

Problem/Ansatz:

Man soll ja irgendwie das mit der Funktionsgleichung vom HK machen, glaub y= Wurzel 2²1² (war angegeben), bräuchte irgendwie nen genauen Rechenweg verstehs meistens nur so, komm nämlich auf kein vernünftiges Ergebnis und wir sollen es immer ausführlich machen :(

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Vom Duplikat:

Titel: Aufgabe zur Steigung der Tangente

Stichworte: tangente,steigung,funktion,ableitungen

Aufgabe:

Zeichne Graph Gf der Fkt f(x)= Wurzel 4-x²  ; Df = [-2; 2] sowie die Tangente tp an Graphpunkt P (1| f(1))

b) Ermitteln Sie die Steigung der Tangente tp auf 2 verschiedene Arten

Problem/Ansatz:…gezeichnet habe ich bereits. Und als 1. Art habe ich die 1. Ableitung, aber eine andere Art bekomme ich nicht hin. Wenn jemand einen Rechenweg hätte wäre es super, kann es so am Besten nachvollziehen. Der will es auch leider immer ausführlich haben :/

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Vom Duplikat:

Titel: Flächeninhalt eines Dreiecks/Tangente/Umkehrfunktion

Stichworte: flächeninhalt,tangente,dreieck,ableitungen,umkehrfunktion

Aufgabe:
Zeichne Graph Gf der Fkt f(x)= Wurzel 4-x²  ; Df = [-2; 2] sowie die Tangente tp an Graphpunkt P (1| f(1))

b) Ermitteln Sie die Steigung der Tangente tp auf 2 verschiedene Arten
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks das von Tp und den beiden Koordinatenachsen berandet wird

Problem: zu c) ich verstehe nicht wie man auf das Dreieck kommt geschweige denn die Werte. Hat vielleicht dazu auch jemand noch einen Lösungsweg den ich versuchen kann nachzuvollziehen

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Vom Duplikat:

Titel: Flächeninhalt Dreieck und Tangentensteigung

Stichworte: tangente,steigung,dreieck,funktion,ableitungen

Aufgabe:

Zeichne Graph Gf der Fkt f(x)= Wurzel 4-x²  ; Df = [-2; 2] sowie die Tangente tp an Graphpunkt P (1| f(1))

b) Ermitteln Sie die Steigung der Tangente tp auf 2 verschiedene Arten
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks das von Tp und den beiden Koordinatenachsen berandet wird

Problem/Ansatz:

bräuchte Hilfe bei der b) und c) bin wirklich nicht gut in Mathe und tu mir extrem schwer. Wenn jemand für beide Aufgaben einen Lösungsweg hätte, den ich versuchen könnte nachzuvollziehen wäre super. Sitz schon länger dran und muss die Aufgabe morgen abgeben :(

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Die gleiche Aufgabe wurde vor vier Stunden von Lost201 gestellt.

Answer 1

Zunächst mal sollst du bei Aufgabenteil a) und b) nicht zwangsweise rechnen. Zunächst ist eh nur Skizzieren und Begründen angesagt.

~plot~ sqrt(4-x^2);4*sqrt(3)/3-sqrt(3)/3*x;3/sqrt(3)*x ~plot~

Answer 2

a) Begründen Sie das Gf ein Halbkreis ist

Begründe das jeder Punkt des Funktionsgraphen vom Punkt (0|0) den Abstand 2 hat.

Answer 3

f(x)=\( \sqrt{4-x^2} \). Setze y=f(x) und quadriere:

y²=4-x² oder x²+y²=2².

Dies beschreibt alle Punkte (x|y), die von (0|0) den Abstand 2 haben, also einen Kreis um (0|0).

Dabei ist f(x)=\( \sqrt{4-x^2} \) der obere Halbkreis und

g(x)=-\( \sqrt{4-x^2} \) der untere Halbkreis.

Answer 4

Hallo,

... und als 1. Art habe ich die 1. Ableitung

dann hast Du schon diesen Plot

~plot~ sqrt(4-x^2);{1|sqrt(3)};-(x-1)/sqrt(3)+sqrt(3) ~plot~

und die Gleichung für die Tangente$$t: \quad y = -\frac x{\sqrt 3}  + \frac 1{\sqrt 3} + \sqrt 3$$wenn Du Dir den Plot anschaust, könntest Du auf die Idee kommen, dass es sich um einen Halbkreis handelt. Jede Tangente an einen Kreis steht immer senkrecht auf dem Radius - also auf der Strecke vom Mittelpunkt zum Berührpunkt \(P\) der Tangente.
Die Gerade \(g\) durch den Mittelpunkt (den Ursprung) und \(P\) ist$$g: \quad y = f(1) x = \sqrt 3\, x$$Die Steigung der darauf senkrechten Geraden ist $$m_t = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{\sqrt 3}$$und jetzt noch in die Punkt-Steigungsform einsetzen und man kommt zur Tangentengleichung.

Answer 5

Hallo,

... und als 1. Art habe ich die 1. Ableitung

dann hast Du schon diesen Plot
~plot~ sqrt(4-x^2);{1|sqrt(3)};-(x-1)/sqrt(3)+sqrt(3) ~plot~
und die Gleichung für die Tangente$$t: \quad y = -\frac x{\sqrt 3}  + \frac 1{\sqrt 3} + \sqrt 3$$wenn Du Dir den Plot anschaust, könntest Du auf die Idee kommen, dass es sich um einen Halbkreis handelt. Jede Tangente an einen Kreis steht immer senkrecht auf dem Radius - also auf der Strecke vom Mittelpunkt zum Berührpunkt \(P\) der Tangente.
Die Gerade \(g\) durch den Mittelpunkt (den Ursprung) und \(P\) ist$$g: \quad y = f(1) x = \sqrt 3\, x$$Die Steigung der darauf senkrechten Geraden ist $$m_t = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{\sqrt 3}$$und jetzt noch in die Punkt-Steigungsform einsetzen und man kommt zur Tangentengleichung.

Answer 6

Tangente könnte man wie üblich bestimmen:

Steigung m = f ' (1) .

Wegen f'(x) = -2x also m= -2

Und mit der Geradengleichung y = mx+n

einsetzen m=-2  gibt  y = -2x + n

Da der berührpunkt (1| f(1)) = ( 1| 3 ) ist also

3 = -2*1 + n ==>   n = 5 also

t: y=-2x+5

oder in diesem Fall ginge auch:

Tangente und Funktionsgraph haben genau einen

Schnittpunkt bei (1 ;3)

Also eine Gerade durch ( 1;3) , das gibt aus y = mx+n

dann 3 = m*1 + n also  n = 3-m .

Also ist die Gerade y = mx+3-m .

und f(x) = 4-x^2  gleichsetzen gibt

            4-x^2 = mx+3 -m

<=>  0 = x^2 + mx -m-1 gibt nach pq-Formel

x = -m/2 ±√ (m/2)^2 +m+1)

und das hat genau eine Lösung für m=-2;

denn dann ist in der Wurzel der Term = 0.

Also bei y = mx+3-m . dann m=-2 einsetzen gibt auch

    t:     y = -2x + 5.

sieht so aus: ~plot~ 4-x^2;-2x+5 ~plot~

Comments

Es geht um einen Halbkreis.

f(x)=√(4-x^2)

Answer 7

b) Erste Art: f(1)=√3; P(1|√3); f '(1)= - 1/√3.Tangentengleichung in Punkt-Steigungsform -1/√3=\( \frac{y-√3}{x-1} \).

  Zweite Art: Der Vollkreis ist der Inkreis eines gleichseitigen Dreiecks mit der Höhe 6 und der Seitenlänge 4√3:

Hier hat eine Seite die Steigung -2√3/6=-1/\( \sqrt{3} \).

y=-1/√3·x+b. Das Einsetzen von P(1|√3) ergibt b=4/√3.

Comments

Es geht nur um den Halbkreis oberhalb der x-Achse. Die Tangente bei x=-2 passt auch nicht zur Aufgabe.

:-)

Answer 8

a)

Du kannst die Funktionsgleichung umstellen und f(x) durch y ersetzen.

x^2+y^2=4^2

Das ist die Gleichung für einen Kreis mit dem Radius 4 und dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt.

Da in der gegebenen Gleichung eine Wurzel steht, entfallen negative y-Werte, sodass wir einen Halbkreis bekommen.

c)

Bestimme die Nullstelle (x=4=a) und den y-Achsenabschnitt b der Tangente.

Der gesuchte Flächeninhalt ist A=0,5*a*b.

:-)