Steckbriefaufgabe (Funktionsvorschrift bestimmen)

Question

Aufgabe:

Hallo, diese Aufgabe ist eine Steckbriefaufgabe und ich muss davon die Funktionsvorschrift bestimmen. Ist eine Parabel

Dafür sind folgende Punkte angegeben:

Hochpunpunkt (-4/5,5)

Nullpunkt₁ (0/0)

Nullpunkt₂ (-8/0)

----> f(x)= ax² +bx+c

Uns wurde gesagt,dass der erste Nullpunkt c=0 sei, aber wie ist das zu erklären und finde ich generelk die Funktionsvorschrift heraus? :)

Answer 1

f(x)= ax² +b x + c

Hochpunkt (-4|5,5)

f(-4)= a*(-4)² +b*( -4) + c

1.)a*(-4)² +b*( -4) + c=5,5

Nullpunkt₁ (0|0)

f(0)= a*(0)² +b*( 0) + c

2.)a*(0)² +b*( 0) + c=0

Nullpunkt₂ (-8/0)

f(-8)= a*(-8)² +b*(-8) +  0   siehe 2.)

3.) a*(-8)² +b*(-8)=0

Nun hast du 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.

Comments

Noch ein Weg: Scheitelpunktform der Parabel:

f(x)=a*(x-x_S)^2+y_S

S(-4|5,5)

f(x)=a*(x-(-4))^2+5,5=a*(x+4)^2+5,5

Nullpunkt₁ (0|0)

f(0)=a*(0+4)^2+5,5

16a+5,5=0

a=-\( \frac{5,5}{16} \)=-0,34375

f(x)=-0,34375*(x+4)^2+5,5

Text erkannt:

\( =R \)

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dankeschön :) ich hätte da eine Frage zum ersten Lösungsweg, muss man dann noch die Ableitung vom Hochpunkt mitrechnen,so dass man vier Gleichungen hat oder ist das nicht relevant?

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Du benötigst keine Ableitung zum Hochpunkt. Ich habe a und b ausgerechnet. Es entsteht die gleiche Parabel wie beim Weg 2:

Answer 2

Das einfachste ist die faktorisierte Form zu notieren

f(x) = a·x·(x + 8)

a lässt sich jetzt über den HP berechnen

f(-4) = a·(-4)·(-4 + 8) = 5.5 --> a = -11/32

Damit lautet die Funktion

f(x) = -11/32·x·(x + 8)

Answer 3

Aloha :)

Hier musst du gar nicht mal so viel rechnen. Da eine Parabel 2-ter Ordnung maximal 2 Nullstellen haben kann und wir diese beiden Nullstellen schon kennen, wissen wir fast alles über sie:$$f(x)=a\cdot(x-0)\cdot(x+8)=ax(x+8)$$Beachte, dass die erste Klammer für \(x=0\) zu Null wird und die zweite Klammer für \(x=-8\). Uns fehlt nur noch der Skalierungsfaktor \(a\). Den holen wir uns aus den Koordinaten des Hochpunktes:$$5,5=\frac{11}{2}\stackrel!=f(-4)=a\cdot(-4)\cdot(-4+8)=-16a\implies a=-\frac{11}{32}$$Damit haben wir die Gesuchte auch schon gefunden:$$f(x)=-\frac{11}{32}x(x+8)=-\frac{11}{32}x^2-\frac{11}{4}x$$

~plot~ -11/32x^2-11/4*x ; {-8|0} ; {0|0} ; {-4|5,5} ; [[-10|2|-2|6]] ~plot~