Gleichung Tangente an die Kurve gesucht.

Question

Aufgabe:

Gesucht ist die Gleichung der Tangente an die Kurve im gegebenen Punkt $$\vec{x}t(to)$$

$$\vec{x}=\begin{pmatrix} 3\cdot \cos(t) \\ 2\cdot \sin(t) \end{pmatrix}$$ \(t_0=\frac{3\cdot \pi}{4}\)

Problem/Ansatz:

Bräuchte hierbei bitte Hilfe.

Lg und

Answer 1

Aloha :)

Die Gleichung der Tangente im Punkt \(t_0\) lautet:$$\vec y_{t_0}(s)=\vec x(t_0)+s\cdot\frac{d\vec x(t_0)}{dt}$$

Hier ist \(\vec x(t)=\binom{3\cos t}{2\sin t}\) und \(t_0=\frac{3\pi}{4}\), sodass:

$$\vec x(t_0)=\binom{-\frac{3}{2}\sqrt2}{\sqrt2}\quad;\quad\frac{d\vec x}{dt}=\binom{-3\sin t}{2\cos t}\;\implies\;\frac{d\vec x(t_0)}{dt}=\binom{-\frac{3}{\sqrt2}}{-\sqrt2}$$Die Gleichung der Tangente lautet also:$$\vec y_{t_0}(s)=\binom{-\frac{3}{\sqrt2}}{\sqrt2}-s\binom{\frac{3}{\sqrt2}}{\sqrt2}$$Diese Geradengleichung können wir noch etwas "eleganter" schreiben:

$$\vec y_{t_0}(t)=\binom{0}{2\sqrt2}-t\binom{3}{2}$$

~plot~ 2sin(acos(x/3)) ; -2sin(acos(x/3)) ; 2sqrt(2)+2x/3 ; {-3/sqrt(2)|sqrt(2)} ; [[-5|4|-2,5|2,5]] ~plot~

Comments

Kann es sein dass ihnen ein Fehler unterlaufen ist bei der Tangentengleichung? Oder irre ich mich?

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Ich habe nochmal alles nachgerechnet, aber keinen Fehler gefunden. Auch im Graphen sieht das Ergebnis richtig aus.

Wie kommst du denn darauf, dass da ein Bug drin ist?

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Ich glaube ich hatte einen denk Fehler!

Answer 2

Hallo, du kannst deine Kurve (stetig und differenzierbar)

\(\vec{x}: \ \mathbb{R}\to \mathbb{R}^2, \ t\mapsto \begin{pmatrix} 3\cdot \cos(t) \\ 2\cdot \sin(t )\end{pmatrix}=:\vec{x}(t)\)

linear an einer Stelle \(t_0\in \mathbb{R}\) approximieren:

\(\vec{T}(t)=\vec{x}(t_0)+\dot{\vec{x}}(t_0)\cdot \underbrace{(t-t_0)}_{=:\lambda}=:\vec{T}(\lambda,t_0)\).

Du hast dann also eine Geradenfunktion:

\(\vec{T}(\lambda,t_0)=\vec{x}(t_0)+\lambda\cdot \dot{\vec{x}}(t_0)=:\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\).

Jetzt setzt du einfach deine konkrete Funktion von oben ein:

\(\vec{T}(\lambda,t_0)=\begin{pmatrix} 3\cdot \cos(t_0) \\ 2\cdot \sin(t_0 )\end{pmatrix}+\lambda\cdot \begin{pmatrix} -3\cdot \sin(t_0) \\ 2\cdot \cos(t_0 )\end{pmatrix}\\\qquad \quad =\begin{pmatrix} 3\cdot \cos(t_0)+\lambda\cdot (-3)\cdot \sin(t_0) \\ 2\cdot \sin(t_0)+\lambda \cdot 2\cdot \cos(t_0)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\)

Du kannst jetzt noch beide Komponenten nach \(\lambda\) auflösen, gleichsetzen und erhältst so eine kompaktere Formulierung deiner Tangentengleichung:

\(6=2\cdot \cos(t_0)\cdot x+3\cdot \sin(t_0)\cdot y\)