Extremwerte gesucht mit Rechteck

Question

Aufgabe: Zwischen der Funktion f(x)= -4x^2 + 11  und der x-Achse so ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt gezeichnet werden.

Zwei Ecken liegen auf der x-Achse, zwei auf dem Funktionsgraphen liegen.

Die Seitenlängen des Rechtecks sind gesucht.

Problem/Ansatz: ich versteh die Aufgabe nicht und brauche dringend die ganze Aufgabe mit Rechenwegen.

Answer 1

Hallo,

mache zunächst eine Skizze:

Du siehst dann, dass der Flächeninhalt A des Rechtecks sich ergibt aus 2x (Strecke zwischen den Nullstellen) und f(x).

Multipliziere also 2x mit f(x) = -4x^2 + 11, bilde die 1. Ableitung, setze sie gleich null und löse nach x auf. Setze dein Ergebnis in die Ausgangsgleichung ein, um die Seitenlänge f(x) zu bestimmen.

Gruß, Silvia

Comments

Ich habe für x=0 raus

Macht das sinn?

Oder was soll ich ableiten und was meinst du mit  2x nehmen?

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Das macht wirklich wenig Sinn. Betrachte noch einmal die Skizze. Die kürzere Seite des Rechtecks hat die Länge 2x, die längere f(x). Flächeninhalt = Länge mal Breite, also hier

2x·(-x^2+11)

ausmultiplizieren und dann die 1. Ableitung bilden.

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Als Ableitung habe ich -24x^2 + 22

und das dann gleich 0 setzen?

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Ja, so machst du weiter.

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Oke gut, danke.

Wieso genau muss man eigentlich 2x machen?

Weil beim Flöcheninhalt rechnet man theoretisch auch nur a mal b

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Schau dir die Breite nochmal an:

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Okay gut.

Als Endergebnis habe ich 13,44

y=14,04

x=0,957

Oder muss ich y geteilt durch 2 machen?

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Ich habe für y 14,04 raus

Aber bei der Skizze sieht man ja, dass es 7, irgendwas ist

Muss ich die 14 durch 2 machen?

Wenn ja, wieso?

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x ist richtig, also ist die Breite des Rechtecks 1,915.

y solltest du nochmal nachrechnen: -4·(0,957)^2 + 11 = 

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Ja jetzt habe ich für y = 7,34 raus.

Jetzt habe ich für den Flöcheninhalt

A= (2 • 0,957) • 7,34

= 14,05²

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Gut, jetzt stimmt es.

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Noch eine Frage.

Am Ende rechnet man ja A=2x • y

Aber wieso nicjz die ganze Funktion also

A=2x • f(x)

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Wird nochmal einen intensiven Blick auf die Skizze: Die senkrechte Länge des Rechtecks ist der y-Wert von x = 1,15 oder -1,15

Answer 2

Die Ecken sind für x>0  und x< √(11/4)  dann

( x;0)  (x;f(x) )   (-x ; f(-x) ) ;    (-x ; 0)

Also Fläche des Rechtecks A(x) =2x*f(x) = 2x*(-4x^2 + 11)

mit f ' (x) = 22-24x^2 hat f'(x)=0  im Definitionsbereich nur die Lösung x= √(33)  / 6 ≈ 0,96

Comments

Okay.

Wenn ich das x einsetze, habe ich für y 14,04 raus .

Passt das?