Zeige: Der Durchschnitt von zwei offenen Mengen ist offen

Question

Aufgabe:

Zeige: Der Durchschnitt von zwei offenen Mengen ist offen

Problem/Ansatz:

Ich weis, dass eine Menge M offen heißt, wenn gilt:

M = M° mit M° = ist die Menge aller inneren Punkte.

Ich habe versucht wie bei der Mengenleere im ersten Smester vorzugehen:

Sei x ∈ (O_1 ∩ O_2)

<=> x ∈ O_1 ∧ x ∈ O_2

<=> x ∈ O_1 und x ∈ O_2

allerdings weiß ich nicht wie ich so zeigen soll, dass der Durchschnitt offen ist.

Answer 1

<=> x ∈ O_1 ∧ x ∈ O_2

Jetzt wendet man die Definition von offene Menge an. Zum Beispiel:

Seien \(O_1\) und \(O_2\) offen und \(x ∈ O_1\cap O_2\).

Sei \(\varepsilon_1 > 0\), so dass die \(\varepsilon_1\)-Umgebung von \(x\) Teilmenge von \(O_1\) ist.

Sei \(\varepsilon_2 > 0\), so dass die \(\varepsilon_2\)-Umgebung von \(x\) Teilmenge von \(O_2\) ist.

Sei \(\varepsilon = \min(\{\varepsilon_1, \varepsilon_2\})\).

Dann ist die \(\varepsilon\)-Umgebung um \(x\) Teilmenge von \(O_1\cap O_2\).

Comments

Jetzt wendet man die Definition von offene Menge an.

... und unterstellt stillschweigend einen metrischen Raum?

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Nun ja, so ganz stillschweigend ja nicht.

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Vielleicht nicht stillschweigend, aber willkürlich. Aber man hätte auch darauf kommen können, dass der FS die Definition im metrischen Raum braucht, wenn er auf "das erste Semester" und "Mengenlehre" verweist. Das ist vermutlich eine Frage aus Analysis 2.

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Würde das mit abgeschlossenen Mengen auch so ähnlich gehen?

O_1 und O_2 sind Teilmengen von ℝ^n

Answer 2

Wenn es sich um einen topologischen Raum \((X,\tau)\) handelt und \(O_1,...O_n\in \tau \Rightarrow \bigcap\limits_{i=1}^{n}U_i\in \tau\) gezeigt werden soll, kann man per Induktion vorgehen.

Induktionsanfang: Seien \(O_1,O_2\in \tau\), dann gilt nach Definition einer Topologie \(O_1 \cap O_2\in \tau\)

Induktionsvoraussetzung: Es exisitieren \(O_1,...,O_n\) und ein \(n\in \mathbb{N}\), so dass \(O_1,...,O_n\in \tau \Rightarrow \bigcap\limits_{i=1}^{n}U_i\in \tau\)

Induktionsschritt \(n\leadsto n+1\):

Seien \(O_1,...,O_n, O_{n+1}\in \tau\), dann gilt: \( \bigcap\limits_{i=1}^{n+1}U_i= \left(\bigcap\limits_{i=1}^{n}U_i\right)\cap U_{n+1}\in \tau\), da nach Induktionsvoraussetzung \(\bigcap\limits_{i=1}^{n}U_i\in \tau\) und der oben angesprochenen Definition einer Topologie. (vgl. Induktionsanfang)