Stammfunktion bestimmen (Kettenregel)

Question

Ich möchte die Stammfunktion folgender Funktion, die mit der Kettenregel abgeleitet wurde, bestimmen:

K'(r) = (r² - r) * exp(r³ - (3/2)*r²)

(r2 - r) wäre ja die innere Ableitung, und exp die äußere und bleibt somit stehen.

Meine Stammfunktion würde also so anfangen:

K(r) = exp( ).

Theoretisch steht mein g(x) ja auch schon da, aber ich komme irgendwie nicht auf das richtige Ergebnis.

Answer 1

Aloha :)

Was bei der Ableitung die Kettenregel ist, ist beim Integrieren die Substitution:

$$\int(r^2-r)\cdot e^{r^3-\frac{3}{2}r^2}dr=\frac{1}{3}\int(3r^2-3r)\cdot e^{r^3-\frac{3}{2}r^2}dr$$

Jetzt substituieren wir:$$u\coloneqq r^3-\frac{3}{2}r^2\quad\implies\quad\frac{du}{dr}=3r^2-3r\quad\Rightarrow\quad\implies\quad dr=\frac{du}{3r^2-3r}$$und du erkennst, dass sich die "innere Ableitung" rauskürzt:

$$=\frac{1}{3}\int\cancel{(3r^2-3r)}\cdot e^{u}\frac{du}{\cancel{3r^2-3r}}=\frac{1}{3}\int e^udu=\frac{e^u}{3}+\text{const}=\frac{1}{3}e^{r^3-\frac{3}{2}r^2}+\text{const}$$

Comments

Ahh lieben Dank! Hatte ganz vergessen, dass Substituieren eine Sache ist :D

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Wie das Kind heißt, ist ja eigentlich egal. Sehr gut ist, dass du erkannt hast, dass die innere Ableitung als Faktor im Integranden auftaucht! Jetzt weißt du auch, wie man die "Kettenregel" beim Integrieren rückwärts anwendet ;)

Answer 2

Wähle \(z=r^3-\tfrac32r^2\). Dann ist \(\tfrac{\mathrm dz}{\mathrm dr}=3r^2-3r\), also \((r^2-r)\mathrm dr=\tfrac13\mathrm dz\), und$$\int(r^2-r)\cdot\exp(r^3-\tfrac32r^2)\,\mathrm dr=\int\tfrac13\exp(z)\,\mathrm dz=\tfrac13\exp(z)+c=\tfrac13\exp(r^3-\tfrac32r^2)+c.$$Vermutlich hast du nur den Faktor \(\tfrac13\) vergessen?

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Lieben Dank für die hilfreiche Antwort!!

Answer 3

f1 := (r^2 - r) * exp(r^3 - (3/2)*r^2)
die e-funktion kann nur aus einer e-Funktion beim
ableiten kommen.
Also ein Versuch mit
[ exp(r^3 - (3/2)*r^2) ] ´ =
[ exp(r^3 - (3/2)*r^2) ] * ( 3r^2 - 6/2 * r )

( 3r^2 - 6/2 * r ) = 3 * ( r^2 - r )
gesucht ist aber nur
r^2 - r
also geteilt durch 3

Damit es ein weing übersichtlicher aussieht
Stammfunktion :

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Lieben Dank für die hilfreiche Antwort!!

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Gern geschehen