Wie gross ist der Winkel zwischen der Ebene EAC und der Geraden FM?

Question

Hallo, Gegeben ist ein aus 2 Würfeln zusammengesetzter Quader

Problem/Ansatz: Wie gross ist der Winkel zwischen der Ebene EAC und der Geraden FM? in der Lösung, der Winkel ist 50,76 grad, ich habe gefunden 54,73 grad Stimmt das? danke für Ihre Hilfe.

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Comments

Freundlicherweise hast du uns deinen eigenen Lösungsweg unterschlagen, sodass wir eventuelle Fehler nicht nachvollziehen können.

Ich kann dich aber beruhigen: Die Musterlösung von rund 50,76° ist richtig.

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Kannst du mir bitte zeigen wie hast du 50,70 grad gefunden? ich komme nicht weiter :)

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Ich sehe deinen Rechenfehler immer noch nicht.

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Es sei K der Schnittpunkt der Ebende EAC und der Geraden FM und L der Schnittpunkt der Ebene FBM und der Geraden EG
Es sei a die Seitenlänge eines dieser beiden Würfel, also ist a die Länge der Strecke MC
Dann muss man sich folgende Sachen überlegen: Die Strecke FL hat die Länge 2a√2/3
und die Strecke LK hat die Länge 2a/3
Der gesuchte Winkle ϕ lässt sich nun über die Gleichung tanϕ= (2a√2/3 )/(2a/3) =√2 und dann ich komme auf 54,74 grade und nicht 50,74 grade, kannst du mir bitte zeigen Wo ist der Fehler?

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Den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene findest du nicht im Dreieck LFK. Ihn würdest nur dann in diesem Dreieck finden, wenn die Ebene FBM senkrecht auf der Ebene EAC stehen würde.

Answer 1

Hallo,

Dann muss man sich folgende Sachen überlegen: Die Strecke FL hat die Länge 2a√2/3
und die Strecke LK hat die Länge 2a/3
Der gesuchte Winkle ϕ lässt sich nun über die Gleichung tanϕ= (2a√2/3 )/(2a/3) =√2 und dann ich komme auf 54,74 ... Wo ist der Fehler?

(klick auf das Bild)

Der Fehler ist, dass die Ebene durch \(FLK\) nicht senkrecht auf der Ebene durch \(EAC\) steht. Dann ist der Winkel \(\angle LKF\) auch nicht der Winkel zwischen der Geraden durch \(FM\) und der Ebene durch \(EAC\).

So wie ich den Quader oben gelegt habe, ist der Normalenvektor \(n\) der Ebene durch \(EAC\)$$n = \begin{pmatrix}-1\\ 2\\ 0\end{pmatrix}$$und die Gerade \(g\) durch \(FM\) hat die Richtung $$g = \begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$$Den Winkel \(\varphi\) zwischen diesen beiden kann man über das Skalarprodukt berechnen:$$n \cdot g = |n|\cdot |g| \cdot \cos \varphi \\ \implies \varphi \approx 39,232°$$und der Winkel zwischen der Geraden und der Ebene ist dann $$90° - 39,232° = 50,768 \approx 50,77°$$

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Vielen dank alle , dank euch, ich weiß wo der Fehler ist. Ich wünsche euch einen schönen Nachmittag.

Answer 2

\( \vec{EC} \)= \( \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} \)

\( \vec{EA} \)= \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \)

\( \vec{MF} \)= \( \begin{pmatrix} -1\\1\\1 \end{pmatrix} \)

\( \vec{n} \)=\( \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} \)× \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \)

\( \vec{r} \)=\( \begin{pmatrix} -1\\1\\1 \end{pmatrix} \)

Wenn α der Winkel zwischen Normale auf der Ebene und Richtung der Geraden ist, dann gilt:

cos(α)\( \frac{\vec{n}·\vec{r}}{|\vec{n}|·|\vec{r}|} \).

Der gesuchte Winkel ist dann 90°-α.