Wie berechne ich das folgende Integral?

Question

Aufgabe:

Wie berechne ich das folgende Integral?

\( \int\limits_{- \infty}^{\infty} |x|e^{-x^2}dx \)

Problem/Ansatz:

Ich bin mir nicht sicher, wie man mit unendlich und -unendlich als Grenzen umgeht.

Answer 1

Die Funktion ist symmerisch zur y-Achse. Falls das Integral existiert, könntest du es mit

\(2\int\limits_{0}^{\infty} |x|e^{-x^2}dx \) berechnen.

Es gilt \(\int\limits_{0}^{\infty} |x|e^{-x^2}dx \)=\( \lim\limits_{b\to\infty} \int\limits_{0}^{b} |x|e^{-x^2}dx \)

Für x≥0 kannst du |x| übrigens einfach als x schreiben.

Eine Stammfunktion von \(xe^{-x^2} \) bekommst du doch hin, oder?

Comments

Ja, die Stammfunktion wäre \( - \frac{1}{2}e^{-x^2}\). Der online Integralrechner sagt 1 aber stimmt das denn? Irgendwie geht meine Rechnung nicht auf.

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Vergiss nicht, das Ergebnis wegen der Symmetrie noch zu verdoppeln.

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Hab mich schon gewundert. Danke dir!

Answer 2

e∞ = ∞

e^-∞ = 0

Erst integrieren, dann Werte einsetzen....