Funktionenschar İnteg Auf

Question

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4. Aufgabe Funktionenschar - Flächeninhalt
Gegeben ist die Funktionenschar \( f_{a}(x)=0,5\left(e^{a x}+a e^{-x}\right) ; x \in I R ; a \in I R ; a \neq 0 ; a \neq-1 . \)
a) Bestimmen Sie für das Intervall \( [0 ; b] ; \mathrm{b}>0 \) den Ausdruck zur Berechnung des Flächeninhaltes, den die Graphen \( \mathrm{G}_{\mathrm{a}} \) mit der \( \mathrm{x} \) - Achse einschließen. (9 BE)
b) In der Abbildung dargestellt ist der Graph für \( a=-2\left(G_{-2}\right) \). Berechnen Sie den Flächeninhalt \( \mathrm{A}_{-2} \) zwischen Graph und \( \mathrm{x} \) - Achse für das Intervall \( [0 ; 1] \) (9 BE) Hinweis: Beide Teilaufgaben sind unabhängig voneinander lösbar

Answer 1

f(x)=0,5(e^ax+ae^-x) = 0,5e^ax +0,5ae^-x

a)

\( \int\limits_{0}^{b} \)(0,5e^ax+0,5ae^-x)dx = [\( \frac{0,5}{a} \)e^ax − 0,5ae^-x ]₀^b = F(b)-F(a)

⇔ (\( \frac{0,5}{a} \)e^ab − 0,5ae^-b ) − (\( \frac{0,5}{a} \) e^a·0 − 0,5ae⁰ )

⇔ (\( \frac{0,5}{a} \)e^ab − 0,5ae^-b ) − (\( \frac{0,5}{a} \) − 0,5a)

Da nur nach einem Ausdruck gefragt war, reicht die letzte Zeile als Lösung.

b) Hier kannst du nun die Lösung aus Aufgabe a) benutzen. Dabei gilt a=−2 und b=1.

Also: (\( \frac{0,5}{-2} \)e^−2·1 − 0,5·(−2)e^-1 ) − (\( \frac{0,5}{-2} \) − 0,5·(−2)) ≈ -0,42

Abschließend noch Betrag nehmen und du hast den gesuchten Flächeninhalt.

Comments

Warum b=1 ?

.......

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weil in der Aufgabe b) das Intervall [0;1] angegeben ist. In a) hieß das Intervall ja noch [0;b]. Das b wurde also durch 1 ersetzt.