Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat sie mindestens 4 Antworten richtig?

Question

Aufgabe:

Bei einem Test gibt es 8 Fragen mit je 3 Antworten, von denen eine richtig ist. Sarah kreuzt jeweils zufällig eine Antwort an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat sie mindestens 4 Antworten richtig?

Problem/Ansatz:

Binomialverteilung

Was ist n ; k und p?

Answer 1

Aloha :)

Jede Frage hat 3 Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist. Zufällig antwortet Sarah also mit der Wahrscheinlichkeit \(p=\frac{1}{3}\) richtig. Von den \(n=8\) Fragen sollen mindestens 4 richtig beantwortet werden. Wir müssen also die Binomialverteilung mit \(k=4,5,6,7,8\) addieren:

$$P(\text{4 richtig})=\binom{8}{4}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^4\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^4=0,170705685108977$$$$P(\text{5 richtig})=\binom{8}{5}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^5\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^3=0,068282274043591$$$$P(\text{6 richtig})=\binom{8}{6}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^6\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2=0,017070568510898$$$$P(\text{7 richtig})=\binom{8}{7}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^7\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^1=0,002438652644414$$$$P(\text{8 richtig})=\binom{8}{8}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^8\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^0=0,000152415790276$$Alles addiert liefert:$$P(\text{min. 4 richtig})=0,258649596098156\approx25,86\%$$

Auf deinem Taschenrechner gibt es wahrscheinlich die Funktionen

\(\operatorname{binompdf(n,p,k)}\) für "genau" k-Treffer.

\(\operatorname{binomcdf(n,p,k)}\) für "höchstens" k-Treffer.

Du kannst dann wie folgt rechnen:$$1-\operatorname{binomcdf}(8;\frac{1}{3};3)$$

Answer 2

P(X>=4) = 1- P(X<=4) = 1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)-P(X=3)

Mit der GegenWKT geht es etwas schneller

Du kannst aber auch aufaddieren P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)

Answer 3

Um die gestellte Frage zu beantworten:

Was ist n ; k und p?

n = 8

k = 4 bis 8

p = 1 / 3

Comments

...und dann würde ich rechnen: