Mathe 11 Lb. S 143 Nr. 3

Question

Aufgabe:

Ein Tunnel soll die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis erhalten. Wie groß ist die Querschnittsfläche maximal, wenn der Umfang des Tunnels 20m betragen soll?

Answer 1

Breite des Tunnels=2r. Höhe des Rechtecks=h.

Zielfunktion: Q(r)=2rh+πr²/2

Nebenbedingung 20=2(h+r)+πr.

Nebenbedingung nach h auflösen und in Zielfunktion einsetzen.

Nullstellen der Ableitung der Zielfunktion auf MiniMax untersuchen.

Answer 2

a = unter Seite
b = senkrechte Seite ( 2 x )

Halbkreis = a * pi / 2

U = a + 2b + a * pi/2 = 20

F = a * b + (a/4 )^2 * pi/2

a + 2b + a * pi/2 = 20
2b = 20 - a - a * pi/2
b = ( 20 - a - a * pi/2 )

einsetzen

F = a * b + (a/4 )^2 * pi/2
F = a * ( 20 - a - a * pi/2 ) + (a/4 )^2 * pi/2

erste Ableitung bilden und zu null setzen
a = 4.21 m