Aloha :)
$$\left.25^x-7\cdot5^x=8\quad\right|25=5^2$$$$\left.(5^2)^x-7\cdot5^x=8\quad\right|(a^b)^c=a^{bc}=a^{cb}=(a^c)^b$$$$\left.(5^x)^2-7\cdot(5^x)=8\quad\right|-8$$$$\left.(5^x)^2-7\cdot(5^x)-8=0\quad\right|\text{faktorisieren}$$Zum Faktorisieren brauchen wir zwei Zahlen, deren Summe \((-7)\) und deren Produkt \((-8)\) ist. Das funktioniert mit \(1\) und \((-8)\). Daher können wir weiter schreiben:$$\left.(5^x-8)\cdot(5^x+1)=0\quad\right|\text{Satz vom Nullprodukt}$$$$5^x=8\quad\lor\quad5^x=-1$$\(5^x\) ist stets positiv, daher ist die zweite Gleichung in \(\mathbb R\) nicht lösbar. Übrig bleibt:$$5^x=8\implies\ln(5^x)=\ln8\implies x\ln5=\ln8\implies x=\frac{\ln8}{\ln5}\approx1,29202967$$
