Rekonstruktion von Funktionen im Abitur

Question

Aufgabe:

In den Wirtschafswissenschaften werden Produktionsprozesse durch mathematische Funktionen modelliert.

a)

Die in 1000 Euro je Einheit gemessenen Kosten, die durch die Herstellung eines Gutes entstehen, sollen durch eine           ganzrationale Funktion K dritten Grades beschrieben werden. Deren Graph habe einen Wendepunkt in (2/14) und dort die       Tangentensteigung m=3. Dabei beschreibe x die Anzahl des hergestellten Gutes in 1000 Stück. Fixe Kosten, die auch dann   anfallen, wenn nicht produziert wird, werden nicht berücksichtigt. Deswegen verläuft der Graph auch durch den Ursprung.

Leiten Sie die Funktionsgleichung von K her. (zur Kontrolle: K(x)= x³-6x²+15x

Problem/Ansatz:

Leider weiß ich schon zu Beginn nicht wie ich am besten an die Aufgabe ran gehen kann. Über Hilfe währe ich daher sehr dankbar :)

Answer 1

Ansatz K(x)=ax³+bx²+cx+d

          k'(x)=6ax²+2bx+c

          K''(x)=6ax+2b

f(2)=14 bedeutet: (1) 14=8a´4b+2c+d

K'(2)=3 bedeutet: (2) 3=12a+4b+c

K''(2)=0 bedeutet: (3)  0=12a+2b

Löse das System (1);(2);(3).

Comments

Danke für die Antwort. Leider verstehe ich jedoch immer noch nicht genau, wie ich weiter vorgehen kann

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Fixe Kosten, die auch dann anfallen, wenn nicht produziert wird, werden nicht berücksichtigt. Deswegen verläuft der Graph auch durch den Ursprung. also gilt d=0 und es ist das System

(1) 14=8a+4b+2c
(2) 3=12a+4b+c
(3)  0=12a+2b

(2)-(4) =(5)    4=-8a-2b

(5)+(3) 4a=4 oder a=1

in (3) einsetzen: 0=12+2b oder b=-6

a und b in (4) einsetzen 7=4-12+coder c=15.

K(x)=x³-6x²+15x.

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Keine Fixkosten -> d=0

Answer 2

Deren Graph habe einen Wendepunkt in (2/14) und dort die     Tangentensteigung m=3

Da keine Fixkosten anfallen, lautet die Funktion f=ax³+bx²+cx - hier die Werte einsetzen für x und y: 14=a*2³+b*2²+c*2

Die 1. Ableitung gibt die Steigung; f´=3ax²+2bx+c, eingesetzt in den Wendepunkt: 3=3a*2²+2b*2+c

Die 2. Ableitung gibt die Info, ob Extremwert oder Wendepunkt: f´´=6ax+2b          6a*2+2b=0

Diese 3 Gleichungen kannst du sicher selber lösen.

Comments

Ich habe bis jetzt folgendes aufgeschrieben und verstanden:

Funktion 3. Grades:

k(x)=ax³+bx²+cx+d

k(x)=3ax²+2bx+c

k`(x)=6ax+2b

f(2)=14        8a+4b+2c+d=14

k(2)=3        12a+4b+c=3

k`(2)=0       12a+2b=0

was ich hiermit anfangen kann, ist mir leider noch nicht klar geworden

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Kannst du kein Gleichungssystem mit 3 Variablen lösen?

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Ich habe es jetzt hinbekommen. Vielen Dank!