Differenzierbare Funktionen, Analysis

Question

Hallo, wisst ihr wie man alle differenzierbaren Funktionen $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit $f^{\prime}=2 f$ bestimmt?

Answer 1

Hallo, das geht zb über Trennung der Variablen: Mit $f(x)=:y$

$y'=\frac{dy}{dx}=2\cdot y \Leftrightarrow \frac{1}{y}dy=2\cdot dx$

Jetzt integrieren:

$\ln(|y|)+c_1=2\cdot x+c_2\Leftrightarrow 2\cdot x+c=\ln(|y|)=\begin{cases}\ln(y), y\geq 0\\\ln(-y),y<0\end{cases}$

Für $y \geq 0$ hast du $\ln(y)=2x+c$ bzw. $f(x)=y=e^{2x+c}=e^{2x}\cdot e^c=C\cdot e^{2x}$

Für $y<0$ hast du $\ln(-y)=2x+c$ bzw. $-f(x)=-y=e^{2x+c}=e^{2x}\cdot e^c=C'\cdot e^{2x}$ also

$f(x)=-C'\cdot e^{2x}=\gamma\cdot e^{2x}$

Also hat die Lösung in beiden Fällen zusammengenommen diese allgemeine Form: $f(x)=\alpha\cdot e^{2x},\quad \alpha\in \mathbb{R}$.

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Vielen Dank!

Answer 2

Definiere $h(x):=f(x)\cdot\mathrm e^{-2x}$. Offenbar ist $h$ differenzierbar und es ist$$h^\prime(x)=f^\prime(x)\cdot\mathrm e^{-2x}-2f(x)\cdot\mathrm e^{-2x}=0\text{ für alle }x\in\mathbb R.$$Das bedeutet, dass $h$ konstant ist. Es existiert also eine reelle Zahl $c$ mit $h(x)=c$ für alle $x$.
Daraus folgt $f(x)=c\cdot\mathrm e^{2x}$.

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