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Hallo, wisst ihr wie man alle differenzierbaren Funktionen f : RR f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} mit f=2f f^{\prime}=2 f bestimmt?

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Hallo, das geht zb über Trennung der Variablen: Mit f(x)= : yf(x)=:y

y=dydx=2y1ydy=2dxy'=\frac{dy}{dx}=2\cdot y \Leftrightarrow \frac{1}{y}dy=2\cdot dx

Jetzt integrieren:

ln(y)+c1=2x+c22x+c=ln(y)={ln(y),y0ln(y),y<0\ln(|y|)+c_1=2\cdot x+c_2\Leftrightarrow 2\cdot x+c=\ln(|y|)=\begin{cases}\ln(y), y\geq 0\\\ln(-y),y<0\end{cases}

Für y0y \geq 0 hast du ln(y)=2x+c\ln(y)=2x+c bzw. f(x)=y=e2x+c=e2xec=Ce2xf(x)=y=e^{2x+c}=e^{2x}\cdot e^c=C\cdot e^{2x}

Für y<0y<0 hast du ln(y)=2x+c\ln(-y)=2x+c bzw. f(x)=y=e2x+c=e2xec=Ce2x-f(x)=-y=e^{2x+c}=e^{2x}\cdot e^c=C'\cdot e^{2x} also

f(x)=Ce2x=γe2xf(x)=-C'\cdot e^{2x}=\gamma\cdot e^{2x}

Also hat die Lösung in beiden Fällen zusammengenommen diese allgemeine Form: f(x)=αe2x,αRf(x)=\alpha\cdot e^{2x},\quad \alpha\in \mathbb{R}.

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Vielen Dank!

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Definiere h(x) : =f(x)e2xh(x):=f(x)\cdot\mathrm e^{-2x}. Offenbar ist hh differenzierbar und es isth(x)=f(x)e2x2f(x)e2x=0 fu¨r alle xR.h^\prime(x)=f^\prime(x)\cdot\mathrm e^{-2x}-2f(x)\cdot\mathrm e^{-2x}=0\text{ für alle }x\in\mathbb R.Das bedeutet, dass hh konstant ist. Es existiert also eine reelle Zahl cc mit h(x)=ch(x)=c für alle xx.
Daraus folgt f(x)=ce2xf(x)=c\cdot\mathrm e^{2x}.

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Vielen Dank!

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