Hallo, das geht zb über Trennung der Variablen: Mit \(f(x)=:y\)
\(y'=\frac{dy}{dx}=2\cdot y \Leftrightarrow \frac{1}{y}dy=2\cdot dx\)
Jetzt integrieren:
\(\ln(|y|)+c_1=2\cdot x+c_2\Leftrightarrow 2\cdot x+c=\ln(|y|)=\begin{cases}\ln(y), y\geq 0\\\ln(-y),y<0\end{cases}\)
Für \(y \geq 0\) hast du \(\ln(y)=2x+c\) bzw. \(f(x)=y=e^{2x+c}=e^{2x}\cdot e^c=C\cdot e^{2x}\)
Für \(y<0\) hast du \(\ln(-y)=2x+c\) bzw. \(-f(x)=-y=e^{2x+c}=e^{2x}\cdot e^c=C'\cdot e^{2x}\) also
\(f(x)=-C'\cdot e^{2x}=\gamma\cdot e^{2x}\)
Also hat die Lösung in beiden Fällen zusammengenommen diese allgemeine Form: \(f(x)=\alpha\cdot e^{2x},\quad \alpha\in \mathbb{R}\).
