wie ich damit rechne wenn es differenzierbare Funktionen sind
Genau so wie mit allen anderen Funktionen.
Die Voraussetzung, das f und g n-mal differenzierbar ist, ist nur deshalb notwendig, weil die Ableitungen auf der rechten Seite von
\((f·g)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(n-k)}g^{(k)}\)
vorkommen.
Allerdings weiß ich nicht wie der Induktionsschritt nun funktioniert.
Die rechte Seite sieht aus wie die beim binomischen Lehrsatz. Schau dir den Beweis dazu an.
\(\begin{aligned} \left(\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\ k \end{pmatrix}f^{(n-k)}g^{(k)}\right)' & =\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\ k \end{pmatrix}\left(f^{(n-k+1)}g^{(k)}+f^{(n-k)}g^{(k+1)}\right)\\ & =\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\ k \end{pmatrix}f^{(n-k+1)}g^{(k)}+\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\ k \end{pmatrix}f^{(n-k)}g^{(k+1)}\\&\dots \end{aligned}\)
