Stetigkeit bei Funktionen

Question

Guten Tag

Sei \( D \subset \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R} \) stetig mit \( f(x)>0 \) stets.

Wann kann man schließen, dass es ein \( c>0 \) gibt mit \( f(x) \geqslant c \) stets?

Answer 1

Gegenbeispiel:  f : ℝ⁺ →ℝ mit f(x)=1/x ist auf ℝ⁺ stetig und immer größer 0.

Aber es gibt KEIN c>0 mit f(x) ≥ c für alle x.

Denn f( 1/(c/2) ) = c/2 < c für positives c.

Comments

Inwiefern soll das ein Gegenbeispiel sein?

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" dass es ein \( c>0 \) gibt mit \( f(x) \geqslant c \) stets?"

habe ich so interpretiert:

Es gibt ein c>0 , so dass für alle x∈D gilt f(x) ≥c.

Wenn es so ein c>0 gäbe, wäre x=c/2 auch aus D = ℝ⁺

aber f(c/2) < c . Also ist x=c/2 ein x, für das f(x) ≥c

nicht gilt.

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Es wurde nicht behauptet, dass ein solches c existiert. Die Frage war, unter welchen Umständen dies der Fall ist.

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Danke für die zahlrieche Hilfe!