Flächenberechnung zwischen Graphen- mit Parameter a

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie a > 0 so, dass die von den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossene Fläche den angegeben Inhalt A hat.

f(x) = x ² + 1

g(x)= (a² + 1) x² 

A=$$\frac{4}{3}$$

Problem/Ansatz:

Ich bin folgendermaßen vorgegangen:

- Schnittpunkte errechnet mit dem Ansatz f(x)=g(x) hier komme ich auf die obere Grenze $$ \frac{1}{a}$$ und die untere Grenze $$- \frac{1}{a}$$

- Erstellen der Differenzfunktion f(x)-g(x)= D(x)

$$D(x) = -a^{2}x^{2}+1$$

- Aufstellen des Integrals von D(x)

(Anmerkung- das minus der unteren Grenze soll vor dem Bruch stehen- check nur nicht wie ich das mit Latex mache)

$$\int \limits_{\frac -{1}{a}}^{\frac{1}{a}}(-a^{2}x^{2}+1)dx$$

- Im nächsten Schritt müssen ja obere Grenze minus untere Grenze gerechnet werden.

Problem:

- Laut Lösungsbuch sollte hierbei rauskommen:

$$\frac{2}{3a}$$ und a=1

Ich habe die Aufgabe mehrfach gerechnet, leider verrechne ich mich offenbar ständig und bin leider mit meinem Latein am Ende. Ich komme auf 2/3a=4/3 und habe dann nicht a=1 sondern a=2 raus.

Zusätzlich verstehe ich nicht, wieso man hier eine untere Grenze 0 annehmen sollte. Wenn ihr mir etwas helfen könnt, wäre das super!

Answer 1

Hallo

da deine Funktion ja symmetrisch zur y- Achse liegt kannst du nur von 0 bis 1/a integrieren und dann verdoppeln. wie du auf die 2/3 für die ganze Fläche kommst  weiss ich nicht -1/3*a^2*1/a^3 +1/a=-1/3a+1/a=2/(3a)

Gruß lul

Comments

Hallo lul,

Ich komme wie unten steht auch am Ende auf 2/3a. Die Fläche A ist ja gegeben mit 4/3. Am Ende muss ich ja noch den Parameter a berechnen. Dabei bin ich dann bei a=2. Laut Lösungsbuch soll hier die Lösung aber 1 sein. Möglicherweise ein Fehler?

Vielen Dank für den Hinweis, wieso die untere Grenze 0 sein muss. Da hing ich gedanklich am Längsten dran.

Answer 2

Text erkannt:

\( D(x)=x^{2}+1-\left(a^{2} \cdot x^{2}+x^{2}\right)=x^{2}+1-a^{2} \cdot x^{2}-x^{2}=1-a^{2} \cdot x^{2} \)
Beide Parabeln haben die y-Achse als Symmetrieachse
$$ \begin{array}{l} \frac{4}{3}=2 \cdot \int \limits_{0}^{\frac{1}{a}}\left(1-a^{2} \cdot x^{2}\right) \cdot d x \\ \frac{2}{3}=\int \limits_{0}^{\frac{1}{a}}\left(1-a^{2} \cdot x^{2}\right) \cdot d x=\left[x-\frac{a^{2}}{3} \cdot x^{3}\right]_{0}^{\frac{1}{a}}=\left[\frac{1}{a}-\frac{a^{2}}{3} \cdot\left(\frac{1}{a}\right)^{3}\right]-0 \end{array} $$
\( \frac{2}{3}=\left[\frac{1}{a}-\frac{1}{3 a}\right]=\frac{2}{3 a} \)
\( \frac{1}{3}=\frac{1}{3 a} \)
\( 3 a=3 \)
\( a=1 \)
\( f(x)=x^{2}+1 \) und \( g(x)=2 x^{2} \)

Text erkannt:

\( \equiv \quad \) GeoGebra Classic
\( \bullet \cdot \stackrel{a=2}{-} \)
\( f(x)=x^{2}+1 \)
\( g(x)=2 x^{2} \)
abe...

Comments

Hallo Moliets,

vielen Dank für die ausführliche Erklärung. Ich hoffe ich verstehe deine Lösung jetzt korrekt:

Da die Graphen beide symmetrisch zur y-Achse sind, habe ich wenn ich von 0 bis 1/a integriere die Fläche 2 mal. Durch die Faktorregel, kann ich im Umkehrschluss die Hälfte der Fläche nehmen beim Berechnen. Also 4/3 : 2=2/3? Denn dann passt es ja quasi.

Der Punkt mit der Y-Achse wurde von mir gar nicht beachtet. Danke für die Hilfe!

---

Text erkannt:

Wenn du den Weg wählst, der aber umständicher ist,
$$ \frac{4}{3}=\int \limits_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}}\left(1-a^{2} \cdot x^{2}\right) \cdot d x=\left[x-\frac{a^{2}}{3} \cdot x^{3}\right]_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}}=\left[\left(\frac{1}{a}\right)-\frac{a^{2}}{3} \cdot\left(\frac{1}{a}\right)^{3}\right]-\left[\left(-\frac{1}{a}\right)-\frac{a^{2}}{3} \cdot\left(-\frac{1}{a}\right)^{3}\right] $$
\( \frac{4}{3}=\left[\left(\frac{1}{a}\right)-\frac{a^{2}}{3} \cdot\left(\frac{1}{a}\right)^{3}\right]-\left[\left(-\frac{1}{a}\right)-\frac{a^{2}}{3} \cdot\left(-\frac{1}{a}\right)^{3}\right] \)
kommt auch \( a=1 \rightarrow \) ( mit "Wolfram" berechnet) raus.

Answer 3

f(x) = x^2 + 1
g(x)= (a^2 + 1) * x^2 
A =4/3

Schnittpunkte
f = g
x^2 + 1 = ( a^2 + 1 ) * x^2
x^2 + 1 = a^2 * x^2 + x^2
a^2 * x^2 = 1
x^2 = 1/a^2
x = ± 1/a

Differenzfunktion
d ( x ) = f minus g
d ( x ) = x^2 + 1 minus ( (a^2 * x^2 + x^2 ))
d ( x ) = 1 - a^2 * x^2

Stammfunktion
S ( x ) = x - a^2 * x^3/3

Wie bekannt ist die Funktion achsensym-
metrisch. Deshalb kann gerechnet werden.
s ( x ) zwischen 0 und 1/a = 2/3
...
2/( 3 * a ) = 2/3
a = 1

Comments

Danke auch dir für die Hilfestellung. Ich habe die wage Vermutung, das der Fehler durch die Stammfunktion kommt. ich bin noch nicht super routiniert, was Mathe angeht. Zur Erklärung, ich mache mein Abi nach und hatte nur ein Jahr Einführungsphase, meinen Abschluss hab ich 1997 gemacht.

Ich hab bei mir die Terme getauscht, auch wenn es mathematisch gesehen das Selbe ist, bringt mich das negative Vorzeichen oft noch aus dem Konzept.

Vielen Dank dir!

---

Gern geschehen.
Frag solange nach bis alles klar ist.