Für welchen Wert von u nimmt der Umfang des Rechtecks ein Maximum?

Question

Aufgabe:

1.3 Die Gerade h mit x = u (0 ≤  u ≤  ln2) schneidet den Graphen von f in A und von g in B. Die Parallelen zur x-Achse durch A und B bilden mit der y-Achse und der Geraden h ein Rechteck. Für welchen Wert von u nimmt der Umfang des Rechtecks ein Maximum?

f(x) = (3-e^x)e^x

g(x) = e^x

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz ist folgender:

Umfang Rechteck (Hauptbedingung):

U(x) = 2a + 2b

Nebenbedingungen:

a = f(x)-g(x)

b = u

Demnach die Zielfunktion:

U(x) = 2(f(x)-g(x)) + 2u

Komme nun aber nicht mehr weiter Bezüglich der Ableitung, bitte um Hilfe. Ist das bisher überhaupt richtig?

Answer 1

Nebenbedingungen:
a = f(x)-g(x)

Nebenbedingung ist

\(a = f(u)-g(u)\).

Damit hast du als Zielfunktion

        \(\begin{aligned} U(u) & =2(f(u)-g(u))+2u\\ & =2\left(\left(3-e^{u}\right)e^{u}-e^{u}\right)+2u\\ & =2\left(3e^{u}-e^{2u}-e^{u}\right)+2u\\ & =2\left(2e^{u}-e^{2u}\right)+2u \end{aligned} \)

und somit

        \(U'(u)=2\left(2e^{u}-2e^{2u}\right)+2\).

Comments

Alles klar, wie leite ich nun ab, um das Maximum herauszufinden? Habe hier ja ein Element Mal das andere, da würde ich die Produktregel anwenden, doch am Ende steht noch das +2u, wie leite ich in dieser Kombination ab?

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\(2\left(2e^{u}-e^{2u}\right)+2u\) ist eine Summe bestehend aus den zwei Summanden \(2\left(2e^{u}-e^{2u}\right)\) und \(2u\).

Weil es eine Summe ist, wird sie mit der Summenregel abgeleitet.

Die Summenregel verlangt, dass du die einzelnen Summanden ableitest und die Ableitungen dann addierst.

Ableitung des Summanden \(2u\) ist offensichtlich 2.

Der Summand \(2\left(2e^{u}-e^{2u}\right)\) ist ein Produkt aus den zwei Faktoren \(2\) und \(2e^{u}-e^{2u}\).

Weil der Faktor \(2\) konstant ist (d.h. es kommt in ihm kein \(u\) vor) darfst du \(2\left(2e^{u}-e^{2u}\right)\) mit der Faktorregel ableiten.

Die Faktorregel verlangt, dass du den nicht-konstanten Faktor \(2e^{u}-e^{2u}\) ableitest und die Ableitung mit dem konstanten Faktor \(2\) multiplizierst.

Der Faktor \(2e^{u}-e^{2u}\) ist eine Summe aus den Summanden \(2e^{u}\) und \(-e^{2u}\).

Und so weiter; ich hoffe du hast das Prinzip verstanden, wie man Ableitungsregeln auswählt und anwendet.

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Danke, top

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Insbesondere leitet man nicht von links nach rechts ab, sondern man unterteilt den Term in zwei Teile und entscheidet anhand dessen, wie diese zwei Teile miteinander verbunden sind, welche Ableitungsregel man anwendet.

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Ganz dahinter bin ich wohl doch nicht nicht genommen.

Bisher habe ich folgendes getan:

Die Summe 2(e^u-e^2u) abgeleitet.

Da kam ich auf:

-3e^2u + 3e^u (mittels u'*v + u*v')

Das hintere +2u habe ich abgeleitet zu 2

Insgesamt ist dann also:

-3e^2u + 3e^u +2 = 0

Wenn ich das dann ausrechne, komme ich jedoch auf 2 X-Werte außerhalb des Definitionsbereiches. Habe ich etwas falsch gemacht

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Wäre optimal, wenn du mir den Weg der Ableitung zeigst (also diese 0 setzen und zum Ergebnis 0 kommen)

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Die Summe 2(e^u-e^2u) abgeleitet.

Das ist keine Summe. Das ist ein Produkt aus den zwei Faktoren \(2\) und \(e^{u}-e^{2u}\).

mittels u'*v + u*v'

Das sieht nach Produktregel aus. Was hast du als u und was als v verwendet?

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Ja, klar, ist ein Produkt. War anscheinend nicht ganz bei der Sache und hab Summe geschrieben. ^^

u = 2

u' = /

v = e^(u)-e^(2u)

v' = e^(u)-2e^(2u)

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u = 2
u' = /
v = e^(u)-e^(2u)
v' = e^(u)-2e^(2u)

u, v und v' stimmen so, abgesehen davon, dass

        \(v = 2e^u-e^{2u}\)

und somit

        \(v' = 2e^u-2e^{2u}\)

ist (ich hatte einen Tippfehler in meiner Antwort, der nun korrigiert ist).

u' ist ganz sicher nicht ein einzelnes geteilt-Zeichen oder ein einzelner Bruchstrich. Als Zahl formuliert ist u'=0 womit dann

        \(u'\cdot v + u\cdot v' = 0\cdot\left(2e^u-e^{2u}\right)+2\cdot \left(2e^u-2e^{2u}\right)\)

wäre.

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Ja genau, so habe ich das nun auch. Aber wie löse ich diese Ableitung jetzt nach 0 auf, um einen konkreten Wert für die Variable u zu erhalten?

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\(U'(u)=2\left(2e^{u}-2e^{2u}\right)+2\) 

Das habe ich jetzt bei mir stehen und macht Sinn. Da ich ja aber das Maximum berechnen soll, wie setze ich denn U nun 0 bzw. Kriege das Ergebnis für 0 in Folge dessen? Darum geht es mir, U sollte denke ich 0 sein, wie ich der Skizze entnehmen kann. Wie Zeige ich das nun rechnerisch

Answer 2

U'(u)=2(2e^u-2e^2u)+2=−4e^2u+4e^u+2    |÷(−4)

=e^2u−e^u−0,5

e^2u−e^u−0,5=0

(e^u)\({^2}\)−e^u-0,5=0 (Aufgrund der Potenzgesetze gilt e^2u = (e^u)\({^2}\), wodurch eine quadratische Gleichung entsteht, die sich durch Substitution lösen lässt).

Substitution

Sei e^u=x (e^u ersetzt du nun in U' mit x) ⇒ x²-x-0,5=0

pq-Formel

\( \frac{1}{2} \)±\( \sqrt{\frac{1}{4}+0,5}\)

x≈1,37 v x≈−0,37

Resubstitution

e^u=1,37 | ln                      e^u=−0,37 (Keine Lösung)

ln(e^u)=ln(1,37)

u≈0,312

Maximum von U(u) liegt also bei u≈0,312

Comments

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Was mir aber noch auffällt, wenn ich die Zielfunktion mir zeichnen lasse, hat diese ihr Maximum an einem minimal höheren X-Wert (ca. 1,45), was sich auch durch einsetzen Bestätigt. Sehe jedoch auch keinen Fehler bei der Rechnung, sollte definitiv richtig sein, was du gerechnet hast. Weißt du, wie diese Abweichung zustande kommt?

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Was mir aber noch auffällt, wenn ich die Zielfunktion mir zeichnen lasse, hat diese ihr Maximum an einem minimal höheren X-Wert (ca. 1,45), was sich auch durch einsetzen Bestätigt. Sehe jedoch auch keinen Fehler bei der Rechnung, sollte definitiv richtig sein, was du gerechnet hast. Weißt du, wie diese Abweichung zustande kommt?

Edit: Habe den Fehler, die 2 (Ableitung von 2u) muss auch mit dem Faktor 2 multipliziert werden (da 2*(a+b), das wurde vergessen. Jetzt stimmt es. :)