Für die Parameter \( a \) und \( b \) benötigen wir zwei Bestimmungsgleichungen. Diese erhält man aus dem Wissen des Schnittpunktes. Am Schnittpunkt gilt:
\( y = f(x_P) = \frac{1}{\varphi} \text{ bzw. } y = f(x_Q) = -\varphi \)
mit diesem Wissen können wir \( x \) in der zweiten Gleichung eliminieren.
\( x_P^2 + \frac{1}{\varphi^2}= 4 \Leftrightarrow x_P^2 = 4- \frac{1}{\varphi^2}\)
\( \Rightarrow f(x_P) = \frac{1}{\varphi} =a \cdot \left(4- \frac{1}{\varphi^2} \right) + b \quad (1) \)
\(x_Q^2 + \varphi^2 = 4 \Leftrightarrow x_Q^2 = 4 - \varphi^2 \)
\( \Rightarrow f(x_Q) = -\varphi = a \cdot \left( 4 - \varphi^2 \right) + b \quad (2) \)
Gleichungen \((1)\) und \((2)\) bilden ein lineares Gleichungssystem für \(a\) und \(b\). Dies kann man zum Beispiel durch Gleichsetzen lösen.
\( \qquad \frac{1}{\varphi} - a \cdot \left(4- \frac{1}{\varphi^2} \right) = -\varphi - a \cdot \left( 4 - \varphi^2 \right) \)
\( \Leftrightarrow \text{ } \frac{1}{\varphi} + \varphi = a \left( \varphi^2 - \frac{1}{\varphi^2} \right) \)
\( \Leftrightarrow \text{ } a =\frac{\varphi}{\varphi^2 - \varphi} = \varphi\)
Einsetzen von \( a \) in \( (2) \) liefert den Wert für \(b\)
\( \quad -\varphi = \varphi (4 - \varphi^2) + b\)
\( \Leftrightarrow \text{ } b = \varphi(\varphi^2 - 5) = - (\varphi + \sqrt{5})\)
