Bestimmen sie den Konvergenzradius r der Potenzreihen

Question

Hallo ich bräuchte bei dieser Aufgabe über Konvergenzradien ein bisschen hilfe

Aufgabe:

Bestimmen sie den Konvergenzradius r der Potenzreihen

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(\sqrt{n^2+6n}-\sqrt{n^2+1})^n}{n^2*3^{2n}}$$

Problem/Ansatz:

Ich würde hier den Grenzwert der Reihe berechnen und dann gemäß r = 1/Grenzwert den Radius berechnen.

Allerdings scheitere ich an der Bestimmung des Grenzwertes.

Meine Idee wäre, bei den Wurzeln jeweils ein n^2 rausziehen und unten den Nenner umzuformen, sodass

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^n*(\sqrt{1+6/n}-\sqrt{1+1/n^2})^n}{(3n)^2*3^n}$$

Nun weiß ich aber nicht weiter, weil diese 3n^2 stören. Wie kann man das weiter umformen?

Comments

Bestimmen sie den Konvergenzradius r der Potenzreihen

Welcher Potenzreihen?

(Und deine Umformung des Nenners ist falsch)

Answer 1

Hallo :-)

Deine Reihe hat keine Potenzen. Ein Weg, hier die Konvergenz dennoch zu zeigen, wäre, diese Reihe durch eine Majorante abzuschätzen.

Dafür kannst den Ausdruck \(\sqrt{n^2+6n}-\sqrt{n^2+1}\) folgendermaßen abschätzen:

\(\begin{aligned}\sqrt{n^2+6n}-\sqrt{n^2+1}&=\frac{(\sqrt{n^2+6n}-\sqrt{n^2+1})\cdot (\sqrt{n^2+6n}-\sqrt{n^2+1})}{\sqrt{n^2+6n}+\sqrt{n^2+1}}\\[10pt]&=\frac{6n-1}{\sqrt{n^2+6n}+\sqrt{n^2+1}}\\[10pt]&\leq \frac{6n-1}{\sqrt{n^2}+\sqrt{n^2}}\\[10pt]&= \frac{6n-1}{2n} \\[10pt]&\leq \frac{6n}{2n}=3\end{aligned}\)

Und damit hast du folgende Abschätzungskette:

\(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(\sqrt{n^2+6n}-\sqrt{n^2+1})^n}{n^2\cdot 3^{2n}}\leq \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n^2\cdot 3^{2n}}=\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2\cdot 3^{n}}\leq \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\)

Comments

Ahh verstehe, ja so hätte man das auch machen können. Ich habe hier ausersehen die Potenzen vergessen

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Dann kannst du das doch in deiner Frage nachtragen.