Verständnisfrage - Dimension - Lösen von Gleichungssystemen (Lösungsinterpretation)

Question

Aufgabe:

Unterschied Ebene im 2-Dimensionalen und 3-Dimensionalen Raum

Problem/Ansatz:

Ansatz:

Ich habe folgendes Verständnisproblem (ferner dann für die Lösung von Gleichungssystemen) Allgemein kann man in dem Medium, in dem man sich befindet nur eine genauso hohe Dimension aufspannen (d.h. 1 visuelle Ebene ist die Zeichenebene: d.h. Darstellbar ist ein Punkt (0 Dimensional), eine Gerade (salopp) {(a | b) *c } und theoretisch doch auch eine Ebene: {(a | b) * c + (e | f) * g + ev. Stützvektor}?

Dann hab ich mir weiterführend gedacht, wie würde ein GS für einen Punkt aussehen z.B. einfach 5 = 5, und für eine Gerade und eine Ebene - und bin dann komplett verwirrt worden.

Denn ein GS (2 x 2), das linear unabhängig ist spannt theoretisch den gesamten R^(2)-Raum auf und hab ich folglich auch als Ebene interpretiert. Jetzt kann es die folgenden Fälle geben (R^(2)):

-)GS ist linear unabhängig: Schnitt ist ein Punkt

-)Gs hat keine Lösung & GS hat Gerade als Lösung (Ebene fällt zusammen - verliert Dimension)

.. das wäre soweit klar

Wenn man jetzt jedoch ein 3x3 Gleichungssystem aufstellt stellt sich für mich die Frage was das überhaupt bedeutet, was überhaupt durch 3 unabhängige Vektoren im R^(3) dargestellt wird (eine Ebene oder ein Körper?). Kurze Fallunterscheidung:

-)GS ist linear abhängig (verliert eine Dimension): (d.h. zwei Dimensionen sind gleich), es gibt 3 Dimensionen, dh es gibt nur die Lösung der 2 gleichen Dimension (<=> Schnittgerade)

-)Gs ist linear unabhängig: Schnittpunkt wie oben

-)GS ist abhängig, fällt komplett zusammen. Der Lösungsraum wäre dann eine Ebene

Konkrete Frage:

Aber was bedeutet Ebene überhaupt? (z.B. kanonische Basisvektoren (1 0 0 ) .... (0 0 1)) - das ist doch bspw weder ein Körper noch eine Ebene?

Warum ist die Lösung eines GS im R^(2) mit 2 Variablen, sofern linear abhängig bzw. nur eine Zeile vorhanden ein lineare Gleichung (wie kann man das außer, über die auswendig gelernte Formel verstehen)

Warum ist die Lösung eines GS im R^(3) kein Körper, was ist wie oben schon gefragt überhaupt eine Ebene ich kann mir wie gesagt unter den kanonischen Basisvektoren nichts vorstellen. - wäre die Form dann nicht allgemien () *c + () * d + () *e anstatt () * c + () * d im R^(3)? Um die kanonische Basis im R^(3) aufzuspannen bräuchte ich ja auch 3 Vektoren?

Vielen Dank euch :)

Answer 1

Aloha :)

Eine "Dimension" ist eine Variable, die zur Beschreibung einer gegebenen Situation nötig ist. Ein "Freiheitsgrad" ist eine Variable, die man in dieser Situation frei wählen kann.

Ein lineares Gleichungssystem mit 4 Unbekannten \(x_1,x_2,x_3,x_4\) ist ein 4-dimensionales Problem. Hat das LGS genau eine Lösung, haben wir keinen Freiheitsgrad, denn alle 4 mögichen Variablen sind fest durch die Gleichungen vorgegeben. Bei unendlich vielen Lösungen haben wir mindestens einen Freiheitsgrad. Ein Freiheitsgrad entspricht einer Dimension der Lösung. Hätte unser Gleichungssystem eine Lösung mit 2 Freiheitsgraden, zum Beispiel

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\0\\1\\2\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}$$so könnten wir auch von einer 2-dimensionalen "Lösungs-Ebene" im 4-dimensionalen Raum sprechen.

Du darfst Dimension (Anzahl zur Verfügung stehender Variablen) nicht mit Freiheitsgraden (Anzahl frei wählbarer Variablen) verwechseln.

Comments

Hallo, zuerst einmal vielen Dank für deine Antwort, ist leider mein Lieblingsthema (neben der Wahrscheinlichkeitsrechnung) - ich schreibe das mal alles so zusammen, wie ich es auch in meiner Zusammenfassung machen würde (ich hoff es wird dir nicht zu lange)

Allgemein nimmt man Zahlen aus einer Zahlenmenge [N, C] und fügt sie strukturell (zur Datenspeicherung usw.) zusammen zu einem System.

()seien n Tupel (<=> 1 Spaltenvektor), der diese Zahlen beinhaltet. Diese n Tupel (so habe ich es mir gemerkt) bestimmt das Medium, indem ich das Problem löse (2 Tupel - Zeichenebene, 3 Tupel - Raum Ebene) Klar ist, wenn ich nur einen Spaltenvektor habe, dass ich, egal in welcher Ebene ich mich befinde nur einen Punkt zeichnen kann. (=1 Dimensional, da bei Vektoren nur der Nullvektor 0-Dimensional ist, der Vektor immer auf einen Punkt zeigt) für jeden Vektor, der hinzu kommt erhöht sich die Dimension. Dh allgemein (n x Dimension (um überhaupt linear unabhängig zu sein, mehr Spalten als Dimension => Spalten nicht linear unabhängig)) als Matrix, wobei n >= Dimension.

Direkte Beispiele: Medium 2 Dimensional.. Was kann ich für Probleme in der 2. Dimension lösen (1 Dimensionale () "normalen Vektor" und 2 Dimensional (2 Vektoren) -> Also 2 x 1 oder 2 (2 <=> wenn Spalten und Zeilen linear unabhängig sind)

Medium 5 Dimensional: (Höchstens 5 x 5) -> z.B. 3 Dimensionales Problem: (5 4 3) (1 2 -1) (6 7 8), alle anderen Einträge mit 0 füllen. Jeder weiterer Eintrag (z.B. als Spalte) würde dazu führen, dass die 3. Dimension nicht zur 4. Dimension werden kann, weil Rg(Matrix) <= Dim

Angenommen Spalten sind linear unabhängig => Es existiert eine 3 Dimensionale Lösung im 5 Dimensionalen Raum (da der 3 Dimensionale Raum im 5 Dimensionalen Medium komplett aufgespannt, und dadurch jeder Punkt des 3 Dimensionalen Raumes erreicht wird) => es existiert genau eine Lösung (Freiheitsgrad der Lösung = 1)

Angenommen 2 Spalten sind linear unabhängig => Freiheitsgrad der Lösung steigt => Freiheitsgrad der Lösung im 5 Dimensionalen Raum ist 2 => Lösung sei eine Schnittgerade

Angenommen die 3. Dimension fällt zusammen (es muss nicht mit einer anderen "Funktion" ein Schnittpunkt, Schnittgerade gefunden werden, es muss aber gelten, dass für jedes x genau ein y existiert (Funktionsaxiom)=> durch Umformen in die Allgemeine Geradengleichung bzw. (das kann ich nicht) in eine 3 Dimensionale Hauptform durch (parametisiert {INHOMOGEN (<=> f(0,0)=? (weiß ich nicht?)) + (-b| a| 0) * g + (-c| 0 | a) * e}) errechnet man sich jedes mögliche y (vgl. und leichter verständlich für mich 1 Dimensional, wenn 2-Dim zusammenfällt)


Allgemein gesehen hat man immer stehen: a + b + c (mit Koeffizienten, bzw. anderen Variablen) = (ist eine Geradengleichung), und das Ziel ist eigentlich immmer dieses in die Hauptform umzuwandeln und je nach Freiheitsgrad ((leerer Rang) = voller Freiheitsgrad <=> Parametisierte Lösung, unendlich viele Lösungen) zu lösen.

So mehr gibt mein Hirn nicht her - ich hoffe es ist nicht zu viel und ich hoffe es kommt dir nicht so vor als wäre ich geistig unterprivilegiert, weil vielleicht vieles nicht stimmt, so oder so wäre es mir (weil es ein zentraler Aspekt der Mathematik ist) wichtig zu verstehen. Klar kann man stur das Gauß'sche Verfahren auswendig lernen - aber ich denke, dass es wichtig ist, alles grundlegend zu verstehen, um überhaupt Spaß daran zu haben, ferner es sich zu merken :)