Zeigen Sie die folgenden Aussagen für alle n in N

Question

Aufgabe: Beweis

Problem/Ansatz: 2 und 4 Aufgaben

für alle n in N

2. \( \sum \limits_{\ell=1}^{2 n-1}(-1)^{\ell+1} \ell^{2}=n \cdot(2 n-1) \)
4. Für \( k \in \mathbb{N} \) mit \( k \leq n \) gilt \( \left(\begin{array}{c}n+1 \\ k+1\end{array}\right)=\sum \limits_{m=k}^{n}\left(\begin{array}{c}m \\ k\end{array}\right) \).

Answer 1

\( \sum \limits_{\ell=1}^{2 n-1}(-1)^{\ell+1} \ell^{2}=n \cdot(2 n-1) \)

Für wohl klar.

Angenommen es gilt für n, dann hast du

\( \sum \limits_{\ell=1}^{2 (n+1)-1}(-1)^{\ell+1} \ell^{2}\)

=\( \sum \limits_{\ell=1}^{2n+1}(-1)^{\ell+1} \ell^{2}\)

=\( \sum \limits_{\ell=1}^{2n-1}(-1)^{\ell+1} \ell^{2} +(-1)^{2n+1} (2n)^{2} +(-1)^{2n+2} (2n+1)^{2} \)

=\( \sum \limits_{\ell=1}^{2n-1}(-1)^{\ell+1} \ell^{2} - (2n)^{2} +(2n+1)^{2} \)

Jetzt die Induktionsannahme einsetzen

= \(n \cdot(2 n-1) - (2n)^{2} +(2n+1)^{2} \)

=  2n^2 - n - 4n^2  +4n^2 + 4n +1

= 2n^2 +3n + 1

= (n+1)(2n+1)  q.e.d.

Comments

kannst du mir bitte  noch bei 4 helfen?

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Da macht das zusätzliche k vielleicht Probleme.

Ausführlich muss das ja wohl heißen:

Für alle n∈ℕ und  k∈ℕ  mit k≤n gilt .....

Ich würde so beginnen.

Sei n=1 . Dann gibt es nur ein   k∈ℕ  mit k≤n

und es ist zu zeigen

\( \left(\begin{array}{c}1+1 \\ 1+1\end{array}\right)=\sum \limits_{m=1}^{1}\left(\begin{array}{c}m \\ k\end{array}\right) \).

Also letztlich nur

\( \left(\begin{array}{c}n+1 \\ k+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1\end{array}\right)\) 

und das stimmt.

Gelte nun die Aussage für ein , dann hat man als

Induktionsannahme

\( \left(\begin{array}{c}n+1 \\ k+1\end{array}\right)=\sum \limits_{m=k}^{n}\left(\begin{array}{c}m \\ k\end{array}\right) \).

Dann gilt aber

$$\sum \limits_{m=k}^{n+1}\left(\begin{array}{c}m \\ k\end{array}\right) $$

$$\sum \limits_{m=k}^{n}\left(\begin{array}{c}m \\ k\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right)$$

mit der Ind.annahme also

$$=  \left(\begin{array}{c}n+1 \\ k+1\end{array}\right)+ \left(\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right)$$

und das ist ja nach einer der bekannten Formeln für die

Binomialkoeffizienten

$$=  \left(\begin{array}{c}n+2 \\ k+1\end{array}\right)$$