Berechne die erste Ableitung (Aufgaben 1) und 2) ) und Limit (3)

Question

Aufgabe:

Differentialrechnung :

Berechne die erste Ableitung (Aufgaben 1) und 2) ) und Limit (3) >

1) ƒ(x)= log(logx)

2)  ƒ(x)=tanhx

3)  $$ \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{x-\arctan x}{x^{3}} $$

Problem/Ansatz:

Bitte eine ausführliche Erklärung wie man solche Aufgaben löst , bin verwirrt und wollte mich gerne korrigieren .

mfg

puffinbird7

Answer 1

Hallo,

Aufgabe1) im Hochschulbereich wird oft für log(x)= ln(x) geschrieben . Ist das so?

y= ln(ln(x)) ---------->z=ln(x)

                              dz/dx=1/x

y=ln(z)

dy/dz= 1/z

------>

y'=dy/dz * dz/dx= 1/z *1/x

y'= 1/( x ln(x))

Aufgabe 3)

 $$ \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{x-\arctan x}{x^{3}} $$

Du bekommst hier 0/0 ->L'Hospital (Leite Zähler und Nenner getrennt ab)

\( \lim\limits_{x\to 0} \) ((1 - 1/(x^2+1) )/3x^2

------>0/0 nochmal L'Hospital anwenden

= \( \lim\limits_{x\to 0} \) ((2x)/((x^2+1) *6x)

= \( \lim\limits_{x\to 0} \)  \( \frac{1}{3} \) *1 =\( \frac{1}{3} \)

Answer 2

ƒ(x)=tanhx = \( \frac{sinhx}{coshx} \)

u=sinhx   → u´= coshx

v = coshx →  v´= - sinhx

Quotientenregel:  \( \frac{u´*v-u*v´}{v^2} \)

Answer 3

Aloha :)

a) Hier empfehle ich die Kettenregel:$$f'(x)=\left(\log(\log(x))\right)'=\underbrace{\frac{1}{\log(x)}}_{=\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\frac{1}{x}}_{=\text{innere Abl.}}=\frac{1}{x\log(x)}$$

b) Hier hilft die Quotientenregel:$$f'(x)=\left(\tanh(x)\right)'=\left(\frac{\overbrace{\sinh(x)}^{=u}}{\underbrace{\cosh(x)}_{=v}}\right)'=\frac{\overbrace{\cosh(x)}^{=u'}\cdot\overbrace{\cosh(x)}^{=v}-\overbrace{\sinh(x)}^{=u}\cdot\overbrace{\sinh(x)}^{=v'}}{\underbrace{\cosh^2(x)}_{=v^2}}=\frac{1}{\cosh^2(x)}$$

c) Da Zähler und Nenner unabhängig voneinander gegen \(0\) konvergieren, können wir zur Grenzwertbestimmung die Regel von L'Hospital verwenden:$$\lim\limits_{x\to0}\frac{x-\arctan(x)}{x^3}=\lim\limits_{x\to0}\frac{(x-\arctan(x))'}{(x^3)'}=\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\frac{1}{1+x^2}}{3x^2}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1+x^2}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}}{3x^2}$$$$=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{x^2}{1+x^2}}{3x^2}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\cancel{x^2}\cdot\frac{1}{1+x^2}}{\cancel{x^2}\cdot3}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{1+x^2}}{3}=\frac{\frac{1}{1+0}}{3}=\frac{1}{3}$$