Arithmetische Operationen für das Limit einer Funktion

Question

Es gilt für die dieswöchigen Trainingsaufgaben zur Vertiefung von Funktionen & deren Limit die folgenden zwei arithmetischen Operationen Nachzuweisen:

(i) The function f +g: D →R,x→ f(x)+g(x) has limit b+c in a.
(ii) The function f ·g: D → R,x → f(x)·g(x) has limit b·c in a.

Intutiv ist das soweit klar, sofern f gegen 2 und g gegen 3 konvergiert sollte das Limit derer Summe bei 5 liegen.
Ich bin mir nur nicht ganz sicher ob mein Ansatz, das formal zu beweisen der richtige ist:

Sei lim(f(x)) = b. Somit existiert ein ε>0 sodass für x --> ∞ f(x) - b < ε
Sei nun lim(g(x) = c. Somit existiert ein δ, sodass für x--> ∞ g(x)-c < δ,

für f(x) + g(x) wäre nun f(x) - b + g(x) - c < ε + δ
dürfte man das aufaddieren und das Limit so zeigen, da sowohl ε und δ beliebig klein sind ?
Analog für f(x) · g(x)?

Danke und LG

Edit: mir ist gerade aufgefallen dass da "limit in a" steht somit müsste man x gegen a konvergieren lassen und das obrige mit ε, δ und ε', δ' zeigen?

Comments

Du solltest zunächst die Definition für

"Der Grenzwert von f(x) für x gegen a ist b."

Korrekt aufschreiben.

Answer 1

Hallo

wie mathhilf sagte, die GW Definition hat Betragsstriche. Du kannst ein ε1 und ε2  definieren z.B mit ε1=ε/2 oder ε/10 und dann mit ε f+g abschätzen. Aber erst muss du dich noch mit den Beträgen rumschlagen!

lul