Wie bestimmt ich den Grenzwert von sin(x)/x für x -> 0?

Question

Hallo,

Es geht um folgenden Grenzwert:

lim sin(x)/(x) = 1

h->0

Ich möchte zeigen, dass dieser „1“ ist. Natürlich erhält man diesen sofort mit der Regel von L‘ Hospital oder einer Taylorentwicklung. Ich wollte es aber elementarer zeigen, durch die Definition des Grenzwertes.

Nun meine Frage, ob mein Delta stimmt.

δ = -1 + sqrt(1+2ε).

Diese Abschätzung erhielt ich aus

|x-1| < δ/2

Danke !

Answer 1

Aloha :)

Mir scheint, du möchtest zeigen, dass die Funktion \(f(x)=\frac{\sin x}{x}\) durch \(f(0)=1\) stetig ergänzbar ist. Wenn du den Grenzwert ohne L'Hospital bestimmen möchtest, schlage ich Folgendes vor:$$0<x<\frac\pi2\implies\sin x<x<\tan x\implies 1<\frac{x}{\sin(x)}<\frac{1}{\cos x}\implies1>\frac{\sin(x)}{x}>\cos x$$$$-\frac\pi2<x<0\implies\sin x>x>\tan x\implies1<\frac{x}{\sin(x)}<\frac{1}{\cos x}\implies1>\frac{\sin(x)}{x}>\cos x$$Daraus kannst du den Grenzwert \(\frac{\sin(x)}{x}=1\) für \(x\to0\) ablesen.

~plot~ x ; tan(x) ; sin(x) ; [[-pi/2|pi/2|-1,2|1,2]] ~plot~

Comments

Danke für deine Mühe !

Ich wollte zeigen, dass lim sin(x)/x = 1

                                  h->0

mit der Definition ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ D : 0 < |x-a| < δ
⇒ |f(x)-b| < ε

Dafür hatte ich |x-1| < δ/2

Also 1/x > (δ+2)/(2) und dann erhielt ich mit der ABC-Formel das Delta von oben.

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Hallo,

Nach Deiner Definitin musst Du allgemein ei beliebiges e>0 vorgeben und dazu ein d>0 bestimmen mit:

$$|x|<d \Rightarrow |\frac{\sin(x)}{x}-1|<e$$

Um die Ungleichung auf der rechten Seite zu untersuchen, musst Du eine Definition oder wesentliche Eigenschaft der sin-Funktion zugrunde legen.

Also: Wie definierst Du sin(x)?

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Text erkannt:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (x)}{x}=1 \)
\( \text { Sei } \varepsilon>0 \)
\( \mid \begin{array}{c}\frac{\sin (x)}{x}-1|=| \frac{\sin (x)-x}{x}|\leq| \frac{x-1}{x} \mid=\frac{\delta}{x}<\frac{\delta}{\frac{2}{2+\delta}}=\left(2 \delta+\delta^{2}\right) \frac{1}{2}<\varepsilon \\ \delta:=-1+\sqrt{1+2 \varepsilon}\end{array} \)

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hallo

mit |x-1|<δ kommst du doch nicht in die Nähe von x=0?

für kleine ε ist dein δ nahe 0 also x nahe 1?

lul

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Entschuldigung, da hatte ich mich verschrieben, ich meinte natürlich

δ/2 > |x| und daraus 1/|x| > 2/δ

Also δ = 1 + sqrt(1+ε)

Passt es jetzt?

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meinst du wirklich ein delta>1  egal was epsilon und das ist dein Ernst?

lul

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Hey! Du musst mich nicht „angreifen“, nur weil ich menschliche Fehler mache. Ich habe daran nicht gedacht. Ich möchte nur Hilfe. Wie kann ich denn dieses Delta finden?

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sorry, ich wollte dich nicht angreifen, nur schnell zeigen, dass das delta falsch sein muss, egal wie ausgerechnet.

aber du willst doch eigentlich |x-0|<delta also |x|<delta

Aber ich bin noch immer der Meinung, dass du das nicht ohne eine Eigenschaft des sin also seine Ableitung oder seine Reihe kannst.wenn du etwa |sin(x)-x|<|x-1| ist das nicht für alle x richtig (allerdings sicher für kleine x )

Gruß lul

Answer 2

hallo

wie willst du das zeigen und was meins du zeigen mit der Def. ds GW?

welche Definition für sin(x) hast du denn benutzt? und was der GW mit |x-1|<δ zu tun hat?

vielleicht verrätst du lieber, was du genau gemacht hast.

Gruß lul

Comments

Ich wollte zeigen, dass lim sin(x)/x = 1

                                    h->0

mit der Definition ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ D : 0 < |x-a| < δ
⇒ |f(x)-b| < ε

Dafür hatte ich |x-1| < δ/2

Also 1/x > (δ+2)/(2) und dann erhielt ich mit der ABC-Formel das Delta von oben.

Answer 3

Ich benutze die Definition des Differentialquotienten:

\(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin(h)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin(0+h)-\sin(0)}{h}=\sin'(0)=\cos(0)=1\)