(g,h)⊛(g ′ ,h ′ ):=(g∗g ′ ,h∙h ′ )∀(g,h),(g ′ ,h ′ )∈G×H

Question

Es seien \( (G, *) \) und \( (H, \bullet) \) Gruppen. Zeigen Sie, dass \( (G \times H, \circledast) \) mit der Verknüpfung \( \circledast \) definiert durch
\( (g, h) \circledast\left(g^{\prime}, h^{\prime}\right):=\left(g * g^{\prime}, h \bullet h^{\prime}\right) \quad \forall(g, h),\left(g^{\prime}, h^{\prime}\right) \in G \times H \)
eine Gruppe ist. Geben Sie Epimorphismen \( \varphi: G \times H \rightarrow G \) und \( \psi: G \times H \rightarrow H \) an.

Answer 1

1. Abgeschlossenheit ist wohl klar: Da \( (G, *) \) und \( (H, \bullet) \) abgeschlossen sind,

sind beim Verknüpfungsergebnis mit \( \circledast \) die ersten

Komponenten immer aus G und die 2. aus H , also das Paar aus GxH.

2, assoziativ lässt sich auf die Assoziativität in den einzelnen Gruppen

zurückführen, etwa so: Seien (a,b) , (c,d) und (e,f) aus GxH.

==>   ((a,b)  \( \circledast \) (c,d))  \( \circledast \) (e,f)

 $$=(a * c, b \bullet d )     \circledast (e,f)$$

        $$=((a * c)*e , (b \bullet d) \bullet f )  $$

wegen des Asso. in den "alten" Gruppen also

      $$=(a * (c*e) , b \bullet (d \bullet f ) )  $$

    $$=(a,b)   \circledast (c*e , d \bullet f )  $$

      $$=(a,b)  \circledast ( (c,d)  \circledast (e,f) )  $$

Und das neutrale Element ist das Paar aus den beiden

neutralen Elementen von G und H und die

Inversen sind es auch komponentenweise. Kannst du

einfach nachrechnen.

Epimorphismen \( \varphi: G \times H \rightarrow G \) und \( \psi: G \times H \rightarrow H \)

sind doch einfach nur gegeben durch \( \varphi (a,b) = a \)

und \( \psi (a,b) = b \)