Aloha :)
Die Funktion \(f(t)=ae^{-bt}\) soll durch die Wahl der Parameter \(a\) und \(b\) bestmöglich an die gemessenen Punkte angeglichen werden. Zur Linearisierung des Problems bildet man auf beiden Seiten der Gleichung den Logarithmus und führt dann eine lineare Regression durch:$$\ln f(t)=\ln\left(ae^{-bt}\right)=\ln(a)+\ln(e^{-bt})=\ln(a)-bt$$
In deinem Fall passt der Punkt \(A(0|0)\) nicht zu den anderen (streng monoton fallenden) Messwerten und würde auch die Konstante \(a=0\) erzwingen, sodass die Funktion \(f(t)=0\) wäre. Daher nehmen wir diesen pathologischen Punkt aus der weiteren Betrachtung heraus. Es handelt sich offensichtlich um einen Messfehler.
Für die anderen vier Punkte können wir nun ein Gleichungssystem aufstellen:
$$\begin{array}{ccl}\ln(a)-b\cdot2&=&\ln(33,8)\\\ln(a)-b\cdot4&=&\ln(24,9)\\\ln(a)-b\cdot6&=&\ln(13,7)\\\ln(a)-b\cdot8&=&\ln(6,7)\end{array}\quad\Longleftrightarrow\quad\left(\begin{array}{rr}1 & -2\\1 & -4\\1 & -6\\1 & -8\end{array}\right)\binom{\ln(a)}{b}=\begin{pmatrix}\ln(33,8)\\\ln(24,9)\\\ln(13,7)\\\ln(6,7)\end{pmatrix}$$
Dieses Gleichungssystem ist überbestimmt, denn wir haben vier Gleichungen aber nur zwei Unbekannte. Wir könnten nun zum Beispiel die beiden ersten Gleichungen des Gleichungssystems wählen und eine Lösung für \(\ln(a)\) und \(b\) bestimmen. Diese Lösung würde dann aber die beiden anderen Gleichungen nicht erfüllen. Im Sinne der Gauß'schen Methode der kleinsten Fehlerquadrate finden wir die für alle Gleichungen "am besten" passende Lösung, indem wir die transponierte Koeffizientenmatrix von links an unser Gleichungssystem multiplizieren:$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\-2 & -4 & -6 & -8\end{pmatrix}\left(\begin{array}{rr}1 & -2\\1 & -4\\1 & -6\\1 & -8\end{array}\right)\binom{\ln(a)}{b}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\-2 & -4 & -6 & -8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\ln(33,8)\\\ln(24,9)\\\ln(13,7)\\\ln(6,7)\end{pmatrix}$$
Führen wir die Matrix-Multiplikationen aus und rechnen die Logarithmen aus, erhalten wir:$$\left(\begin{array}{rr}4 & -20\\-20 & 120\end{array}\right)\binom{\ln(a)}{b}=\binom{11,254832}{-50,821628}$$
Mit den Lösungen:$$\binom{\ln(a)}{b}=\binom{4,17684094}{0,27262659}\quad\implies\quad\binom{a}{b}=\binom{65,15968445}{0,27262659}$$
Daher lautet die gesuchte Lösungsfunktion:$$\boxed{f(t)=65,1597\cdot e^{-0,2726\cdot t}}$$
~plot~ 65,1597*exp(-0,2726*x) ; {2|33,8} ; {4|24,9} ; {6|13,7} ; {8|6,7} ; [[0|10|0|66]] ~plot~
