0 Daumen
636 Aufrufe

Vereinfach die Folgenden Ausdruck:

\( \sum \limits_{k=0}^{n-1}(k+2)^{2}-\sum \limits_{k=0}^{n+1}(k-2)^{2} \)

Mein Plan:


\( \sum \limits_{k=0}^{n}(k+1)^{2} \) - \( \left(\sum \limits_{k=0}^{n}(k-2)^{2}\right)+(n-1)^{2} \)

Jetzt komme ich nicht mehr weiter. Welche Möglichkeiten habe ich jetzt.

Avatar von

Das meiste hebt sich doch weg :

                                          2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2
    -( (-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...         + (n-1)^2 )

=   n^2 + (n+1)^2 - 6  =  2n^2 + 2n - 5

3 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Wie wäre es mit Indexverschiebungen?

$$\sum\limits_{k=0}^{n-1}(k+2)^2-\sum\limits_{k=0}^{n+1}(k-2)^2=\sum\limits_{k=2}^{n+1}k^2-\sum\limits_{k=^-2}^{n-1}k^2$$$$=\left((n+1)^2+n^2+\sum\limits_{k=2}^{n-1}k^2\right)-\left((-2)^2+(-1)^2+0^2+1^2+\sum\limits_{k=2}^{n-1}k^2\right)$$$$=(n+1)^2+n^2-6$$$$=n^2+2n+1+n^2-6$$$$=2n^2+2n-5$$

Avatar von 152 k 🚀
0 Daumen

Die erste Summe ist n/6(2n2+9n+13).

Die zweite Summe ist 1/6(2n3-3n2+n+30).

Die Differenz ist 2n2+2n-5.

Avatar von 123 k 🚀

Wie kommst du auf die erste und zweite Summe?

Hab nochmal nachgebessert.

Ich berechne die Summen für n=1,2,3,4,5,6, und zu diesen Folgen die Differenzenfolgen. Da die dritte Differenzenfolge konstant ist, können die Summen durch Polynome dritten Grades ausgedrückt werden. (Jeweils 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten).

0 Daumen

Da fehlt ne Klammer und mit dem Index bei der 1. Summe stimmt was nicht:

-1 +\( \sum \limits_{k=0}^{n}(k+1)^{2} \) -( \( \left(\sum \limits_{k=0}^{n}(k-2)^{2}\right)+(n-1)^{2} \))

= -1 +\( \sum \limits_{k=}^{n}((k+1)^{2} -(k-1)^2) -(n-1)^{2} \)

=-1 + \( \sum \limits_{k=0}^{n} 4k   -(n-1)^{2} \)

=-1 + \(4 \sum \limits_{k=0}^{n} k   -(n-1)^{2} \)

= -1 +4*n*(n+1)/2 - (n-1)^2

= n^2 + 4n - 2

Avatar von 289 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community