Vereinfachen sie den Ausdruck (Summenzeichen)

Question

Vereinfach die Folgenden Ausdruck:

\( \sum \limits_{k=0}^{n-1}(k+2)^{2}-\sum \limits_{k=0}^{n+1}(k-2)^{2} \)

Mein Plan:

\( \sum \limits_{k=0}^{n}(k+1)^{2} \) - \( \left(\sum \limits_{k=0}^{n}(k-2)^{2}\right)+(n-1)^{2} \)

Jetzt komme ich nicht mehr weiter. Welche Möglichkeiten habe ich jetzt.

Comments

Das meiste hebt sich doch weg :

                                          2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2
    -( (-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...         + (n-1)^2 )

=   n^2 + (n+1)^2 - 6  =  2n^2 + 2n - 5

Answer 1

Aloha :)

Wie wäre es mit Indexverschiebungen?

$$\sum\limits_{k=0}^{n-1}(k+2)^2-\sum\limits_{k=0}^{n+1}(k-2)^2=\sum\limits_{k=2}^{n+1}k^2-\sum\limits_{k=^-2}^{n-1}k^2$$$$=\left((n+1)^2+n^2+\sum\limits_{k=2}^{n-1}k^2\right)-\left((-2)^2+(-1)^2+0^2+1^2+\sum\limits_{k=2}^{n-1}k^2\right)$$$$=(n+1)^2+n^2-6$$$$=n^2+2n+1+n^2-6$$$$=2n^2+2n-5$$

Answer 2

Die erste Summe ist n/6(2n²+9n+13).

Die zweite Summe ist 1/6(2n³-3n²+n+30).

Die Differenz ist 2n²+2n-5.

Comments

Wie kommst du auf die erste und zweite Summe?

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Hab nochmal nachgebessert.

Ich berechne die Summen für n=1,2,3,4,5,6, und zu diesen Folgen die Differenzenfolgen. Da die dritte Differenzenfolge konstant ist, können die Summen durch Polynome dritten Grades ausgedrückt werden. (Jeweils 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten).

Answer 3

Da fehlt ne Klammer und mit dem Index bei der 1. Summe stimmt was nicht:

-1 +\( \sum \limits_{k=0}^{n}(k+1)^{2} \) -( \( \left(\sum \limits_{k=0}^{n}(k-2)^{2}\right)+(n-1)^{2} \))

= -1 +\( \sum \limits_{k=}^{n}((k+1)^{2} -(k-1)^2) -(n-1)^{2} \)

=-1 + \( \sum \limits_{k=0}^{n} 4k   -(n-1)^{2} \)

=-1 + \(4 \sum \limits_{k=0}^{n} k   -(n-1)^{2} \)

= -1 +4*n*(n+1)/2 - (n-1)^2

= n^2 + 4n - 2