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Hallo,

Ich sitze gerade an folgender Aufgabe:

Beweisen Sie, dass die Menge

O = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn

: |x1| + · · · + |xn| ≤ 1}

ein Polytop ist.


Problem/Ansatz:

Nach Definition ist ein Polytop die konvexe Hülle von endlich vielen Punkten, also die Menge der Konvexkombination dieser Punkte.

Somit muss jedes x∈O als Konvexkombination Σxiλi mit Σλi = 1 und λi>0 darstellbar sein. Ab diesem Punkt sind alle meine Ansätze im Sand verlaufen.

Ich habe versucht, die xi so anzuordnen, dass x1,..., xn positiv und x(n+1),..., xn negativ sind, um die Summe in zwei Teilsummen zu zerlegen und dort den Betrag einzusetzen, bin aber auch nicht weitergekommen.

Vielleicht hat hier jemand eine Idee.

Vielen Dank im Voraus.

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Hallo :-)

Ich habe versucht, die xi so anzuordnen, dass x1,..., xn positiv und x(n+1),..., xn negativ sind, um die Summe in zwei Teilsummen zu zerlegen und dort den Betrag einzusetzen, bin aber auch nicht weitergekommen.

Das geht vom Grundgedanken schonmal die richtige Richtung! Du brauchst aber eine Menge von Vektoren \(p_1,...,p_k\in \mathbb{R}^n\), sodass \(O=\operatorname{konv}(p_1,...,p_k)\) gilt.

Dafür bieten sich besonders hübsch folgende Vektoren an:

\(v_1,...,v_n,v_{n+1},...,v_{2n}:=e_1,...,e_n,-e_1,...,-e_n\in \mathbb{R}^n\).

Also die Standardbasisvektoren und mit ihnen ihre Inversen. Dann gilt ja schonmal für alle \(i=1,...,2n\) auch \(v_i\in O\), sodass die Teilmengenbeziehung \(\supseteq\) gezeigt ist.



Nun zu \(\subseteq\). Sei also \(x\in O\) beliebig, d.h. es gilt \(|x_1|+...+|x_n|\leq 1\).

Definiere nun zwei Indexmengen

\(\mathcal{R}:=\{r\in \{1,...,n\}:\ x_r\geq 0\},\quad \mathcal{S}:=\{s\in \{1,...,n\}:\ x_s<0\}\).

Dann gilt ja automatisch auch \(\mathcal{R} \cup \mathcal{S}=\{1,...,n\}\) und \(\mathcal{R}\cap \mathcal{S}=\{\}\).

Definiere weiter eine Indexabbildung \(i: \ \mathbb{N}\to \{1,...,n,n+1,...,2n\}\), sodass

\(i(r)=r,\ \forall r\in \mathcal{R}\) und \(i(\mathcal{S})\subseteq \{n+1,...,2n\}\) gilt. Das ist nur für die passende Nummerierung der definierten Vektoren \(v_i\).


Dann gilt weiter

\(x=\sum\limits_{r\in \mathcal{R}} \underbrace{x_r}_{=:\lambda_i(r)}\cdot v_{i(r)}+\sum\limits_{s\in \mathcal{S}} \underbrace{|x_s|}_{=:\lambda_{i(s)}}\cdot v_{i(s)}\),

sodass zunächst nur

\(\sum\limits_{k\in (\mathcal{R} \cup \mathcal{S})} \lambda_{i(k)}\leq 1\) gilt.

Frage an dich: Wie könntest du nun hier Gleichheit erzwingen (insbesondere für \(|x_1|+...+|x_n|<1\))?

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Hallo :)

zunächst vielen Dank für die Antwort, mir ist jetzt einiges klarer geworden. :)

Zu der Frage:

Ich glaube, ich stehe hier etwas auf dem Schlauch.

Wenn also ∑|xi| < 1 ist und da |xi|>0 für alle i=1,...n , dann müssten ja weitere λ hinzugefügt werden zu den λi(r) und λi(s), welche sich ja aus den |xi| zusammensetzen, um die Summe zu vergrößern. Da es ja nur n xi gibt, aber 2n Vektoren definiert wurden, müssen die restlichen noch bedacht werden. (z. B. wenn x1>0 ist e1 in der Summe vorhanden, aber nicht - e1) Allerdings sind deren Koeffizienten ja λ=0.

Oder man nimmt den Nullvektor mit auf und definiert dessen Koeffizient mit λ0=1-∑|xi|. Das würde am Ergebnis der Summe nichts verändern, aber ich bin mir trotzdem nicht sicher, ob man das einfach so machen kann.


Ja, genau. Den Nullvektor hinzu addieren wäre hier die einfachste Option, welcher sich aus den vorhanden \(v_i\) zusammensetzt.

Alles klar und vielen Dank für die Hilfe :)

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