Konjugationsautomorphismus zeigen (Gruppenisomorphismus)

Question

Es sei \( G \) eine Gruppe. Einen Gruppenisomorphismus von \( G \) auf sich selbst nennen wir einen Automorphismus von \( G . \) Die Menge der Automorphismen auf \( G \) bezeichnen wir mit \( \operatorname{Aut}(G) \). Zeigen Sie:
(a) Für alle \( g \in G \) ist die Abbildung
\( \kappa_{g}: G \longrightarrow G, \quad x \mapsto g x g^{-1} \)
ein Gruppenautomorphismus, genannt Konjugationsautomorphismus.
(b) Die Menge \( \operatorname{Aut}(G) \) bildet bzgl. der Komposition von Abbildungen eine Gruppe.
(c) Die Abbildung
\( \kappa: G \longrightarrow \operatorname{Aut}(G), \quad g \mapsto \kappa_{g}, \)
ist ein Gruppenhomomorphismus.

wie zeige ich das ?

Answer 1

a) (G,*) ist die Gruppe. Sei g ∈ G. Zeige mal erst:  κ_g ist ein Homomorphismus.

Dazu brauchst du: Für alle x,y∈G gilt  κ_g (x*y) = κ_g(x)*κ_g(y) .

Also g*(x*y)*g^(-1) = g*(x*e*y)*g^(-1)

                    = g*x*(g^(-1)*g)*y*g^(-1)

                   = (g*x*g^(-1))*(g*y*g^(-1))

                     =  κ_g(x)*κ_g(y) .  Passt also.

Dann zeige: κ_g ist injektiv. Wenn also κ_g(x)=κ_g(y) gilt, dann

muss auch x=y sein. Das ist so, denn

                   g*x*g^(-1)=g*y*g^(-1)   | *g von rechts

                           g*x = g*y  | *g^(-1) von links

                                  x = y .

Surjektiv: Sei y ∈ G. Zeige: Es gibt x∈G mit   κ_g(x) = y .

Suche also x mit        g*x*g^(-1) = y     | *g von rechts

                                    g*x = y*g     | *g^(-1) von links

                                      x = g^(-1) * y * g   Bingo !

                         Das ist das gesuchte x.

b) Prüfe die Gruppenaxiome.

c)  Ähnlich wie oben, allerdings ist hier o die Verknüpfung, also die

Hintereinanderausführung von Abbildungen. Also zeige sowas wie

             κ(g*h) =   κ_g o  κ_h

Comments

zu c? wie prüfe ich genau die Gruppenaxiome?

habe jetzt das so gemacht:

Es ist
\( \kappa_{g}(x y)=g x y g^{-1}=g x g^{-1} g y g^{-1}=\kappa_{g}(x) \kappa_{g}(y), \)
so dass ein Gruppenhomomorphismus vorliegt. Wegen
\( \kappa_{g}\left(\kappa_{h}(x)\right)=\kappa_{g}\left(h x h^{-1}\right)=g h x h^{-1} g^{-1}=g h x(g h)^{-1}=\kappa_{g h} \)
ist einerseits
\( \kappa_{g^{-1}} \circ \kappa_{g}=\kappa_{g^{-1} g}=\mathrm{id}_{G} \)
so dass \( \kappa_{g} \) bijektiv, also ein Automorphismus, ist. Andererseits ist deshalb die Gesamtabbildung \( \kappa \) ein Gruppenhomomorphismus.