Ich möchte euch heute etwas über die Zahl $$0,\overline{9}$$ zeigen, was wohl viele nicht erwartet hätten ;).
1. Was denkt ihr?
Wenn ihr euch die Zahl 0,999... mal so vorstellt, denkt ihr dann auch, wie so viele:
- Fast(!) 1, doch nicht 1, eben nur fast!
Das stellen sich die meisten Leute vor. Doch wieso? Wieso ist die Zahl fast 1? Und nur fast? Auf die Fragen haben sie dann keine Antworten. Also, ist die Antwort nun richtig, falsch? Oder einfach nur zu unpräzise?
2. Die absurde Behauptung!
\( 0,\overline{9} = 1 \)
"Nein, das kann doch nicht sein!", antworten dann die meisten. Dies oder ähnliches (was dachtet ihr, als ihr das last? Oder was dachtet ihr zu 0,999... Bitte schreibt's in die Kommentare). Als ich das das erste mal hörte, konnte ich das auch nicht glauben. Aber ist diese Behauptung wahr oder falsch?
3. Beweise...
Es gibt viele Beweise für diese Behauptung, aber nicht alle sind wahr. Ich liste jetzt zwei Beweise auf, findet ihr heraus welcher richtig ist und welcher falsch ist? Bitte schreibt nur euer Ergebnis, nicht die Rechnung, für den Knobelspass der anderen?
Beweis Nr. 1:
$$1/3 = 0,\overline{3} \Rightarrow 3 \cdot \frac{1}{3} = 3 \cdot 0,\overline{3} \Leftrightarrow 1 = 0,\overline{9} $$
Beweis Nr. 2:
$$ 0,\overline{9} = 9 \cdot \frac{1}{10} + 9 \cdot \frac{1}{100} + 9 \cdot \frac{1}{1000} + ... = 9 \cdot \left(\frac{1}{10} + \frac{1}{100} +\right) =: S \Rightarrow 10 \cdot S = 9,\overline{9} \Leftrightarrow 9 \cdot S = 9 \Rightarrow S=1 $$
Aber wie gesagt, das waren nur zwei von vielen... ;).
4. Vorteile von diesem Wissen
Damit kann man seine Nachbarn, Kollegen usw immer schön beeindrucken, genauso gut, wie mit guten Kopfrechentricks ;).
Viel Spaß dabei!
