Aloha :)
Die wichtige Information ist hier, dass es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Daher wissen wir, dass die beiden Schenkel senkrecht aufeinander stehen. Die Fläche des Dreieks ist daher:$$\text{Fläche}=\frac{1}{2}\cdot\text{Schenkel1}\cdot\text{Schenkel2}$$
Die ursprüngliche Schenkellänge ist unser gesuchtes \(x\). Der eine Schenkel wird um \(3\) verlängert, wird also zu \((x+3)\), der andere wird um \(2\) verkürzt, wird also zu \((x-2)\). Die Fläche dieses neuen Dreiecks ist soll \(18\) sein:
$$\left.\frac{1}{2}\cdot(x+3)\cdot(x-2)=18\quad\right|\cdot2$$$$\left.(x+3)\cdot(x-2)=36\quad\right|\text{Klammern ausmultiplizieren}$$$$\left.x^2+3x-2x-6=36\quad\right|-36$$$$\left.x^2+x-42=0\quad\right.$$
Jetzt könnte die pq-Formel helfen. Da wir aber sofort sehen, dass$$-42=7\cdot(-6)\quad\text{und}\quad 1=7+(-6)$$ist, können wir die quadratische Gleichung direkt faktorisieren:$$(x+7)(x-6)=0$$und die beiden Lösungen \(x=-7\) und \(x=6\) ablesen. Da die Länge der Schenkel am Anfang nicht negativ gewesen sein kann, kommt nur die positive Lösung in Betracht:$$x=6$$Die beiden Schenkel waren also ursprünglich \(6\,\mathrm{cm}\) lang.
