Bestimmen Sie nachvollziehbar alle Matrizen A, sodass A*B=B*A

Question

Bestimmen Sie nachvollziehbar alle Matrizen \( A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}) \), die die Eigenschaft haben, dass \( A \cdot B=B \cdot A \)

gilt, für alle \( B \in \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}) \). (Hinweis: Wählen Sie für \( B \) zuerst Matrizen, die nur Einsen und Nullen haben, um die Möglichkeiten für \( A \) einzuschränken.)

Bei dieser Aufgabe habe ich eher eine Verständnisfrage. Soll A jetzt bei a, b, c, d bleiben und wir sollen gucken für welche Matrizen B A*B=B*A gilt ? Oder wie genau muss man hier vorgehen. Weil wenn beides variieren kann, hat es doch quasi unendlich viele Lösungen oder nicht?

Ich habe es zunächst mit Zahlen versucht und weiß jetzt nicht genau, was die von mir erwarten... :/

Comments

Hallo,

gesucht sind Matrizen A, so dass für alle Matrizen B gilt AB=BA. Also für jede einzelne Matrix A soll die Gleichung AB=BA für beliebige Matrizen B gelten.

Um die Suche nach den Komponenten a,b,c,d zu erleichtern, wird vorgeschlagen, notwendige Bedingungen hierfür herzuleiten, indem man die Gleicung AB=BA für spezielle B aufstellt.

Gruß Mathhilf

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Danke erstmal! Aber dann gibt es doch theoretisch sehr viele solcher Matrizen oder nicht?

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Das kommt auf Dein Verständnis von "viel" an. Offenbar ist mit jeder Matrix A auch jedes Vielfache von A eine Lösung, das werden manche viel nennen.

Andererseits werden Lösungen in einem Raum mit höchstens 4 Dimensionen gesucht, das werden manche wenig nennen.

Warum fängst Du nicht einfach an?

Gruß Mathhilf

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Habe die Aufgabe schon gelöst (würde ich behaupten) :D ging mir aber eher ums Verstehen. Nochmal vielen Dank!