Grenzwert von cos((ln(1+n))/n)

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( \cos \left(\frac{\ln (1+n)}{n}\right) \)

Problem/Ansatz:

! Also ich habe folgendes Problem: Hier soll ich den Grenzwert (limes x-> unendlich) rechnen aber ich komme bisschen durcheinander: wenn wir in die Funktion gehen und cosinus nicht beachten ist der Grenzwert ja dann unendlich/unendlich. Ich denke hier darüber nach l'hospital anzuwenden aber ich bin mir ziemlich unsicher, ob das der richtige weg ist. Freue mich bei jeder Hilfe!

Comments

Oder ich habe auch überlegt dass es keinen grenzwert gibt und diese funktion gegen unendlich zwischen 1 und -1 herum pendelt

Answer 1

Ja, du bist auf dem richtigen Weg :) Da der Cosinus stetig ist (das kannst du zb dadurch begründen, dass er differenzierbar ist), darfst du den limes in den Cosinus reinziehen. Jetzt einmal l'Hopital und fertig :)

Comments

super, danke!

Answer 2

Das Argument geht gg. Null -> cos0 =1

n wächst schneller als ln(1+n)

Comments

"n wächst schneller als ln(1+n)" reicht als Argument nicht aus, man muss schon genauer begründen, warum ln(1+n)/n eine Nullfolge ist.

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Das stimmt wohl, aber ist es nicht evident, dass der log langsamer wächst als

n? Dass der log einer natürlichen Zahl kleiner als die Zahl ist, muss man doch nicht

nochmal beweisen, oder?

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Das ist richtig, aber nur weil der Zähler langsamer wächst als der Nenner muss der Quotient ja noch keine Nullfolge sein.