Gitterförmiges Straßennetz

Question

Aufgabe<.

In einem gitterförmigen Straßennetz will Nina von ihrem Haus zur Schule
fahren, welche n ≥ 1 Blöcke östlich und k ≥ 1 Blöcke nördlich liegt.1 Wieviele kürzeste Strecken gibt es für Nina?

1Die Straßen sind wie die Linien auf einem karierten Blatt angeordnet. Nina´s Haus und die Schule sind
beide an Stellen, wo sich zwei Straßen kreuzen.

Problem/Ansatz:

Kann mir hier jemand bitte weiterhelfen. Ich weiß leider nicht, wie ich vorgehen soll?

Answer 1

Nina muss \(n\) mal nach Osten gehen und \(k\) mal nach Norden gehen.

Insgesamt muss sie also \(n+k\) Entscheidungen treffen, ob sie nach Osten oder nach Norden geht.

Wieviele Möglichkeiten gibt es, dass von diesen \(n+k\) Entscheidungen genau \(k\) Entscheidungen auf Norden entfallen?

Comments

Die Überlegung macht Sinn für mich.

Das Ergebnis wäre dann aber das von Roland vorgeschlagene oder?

Weile es gibt ja n+k Entscheidungen also habe ich (N+k)! im Zähler.

und da sowohl n als auch k jeweils eine Gruppe bilden hätte ich im Nenner n!*k! ?

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Ich hätte mit dem Binomialkoeffizienten \(m\choose r\) argumentiert. Der gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer \(m\)-elementigen Menge \(r\) Elemente auszuwählen.

Wendet man den auf \(m = n+k\) und \(r = k\) an, dann kommt man wegen

        \({m\choose r} = \frac{m!}{r!\cdot(m-r)!}\)

zu dem gleichen Ergebis wie Roland.

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Okeii dankeschön!!

Answer 2

n mal einen Block östich, k mal einen Block nördlich.\( \frac{(n+k)!}{n!·k!} \)  kürzeste Strecken gibt es für Nina.