Basis Kern(f) einer linearen Abbildung Matrix auf Polynom bestimmen

Question

verzweifle gerade an folgender Aufgabenstellung:

Sei f: $$M_{22}( \mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}[T]$$ definiert durch $$f\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = (a+b)+(a+b)T +(a+b+c+d)T ^{2}$$ für alle $$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\in M_{22}(\mathbb{R}).$$

Man soll die Basis von Kern(f) bestimmen.

Problem/Ansatz:

Ich wollte folgendermaßen vorgehen:

- Zunächst mittels der Polynomformel eine Vereinfachung der Matrix erreichen. Meine Idee ist, damit die Polynomformel Null ergibt, muss b = -a und d = -c lauten. Das Ganze dann in die Matrix einsetzen.

- Treppennormalform und die Lösungsmenge bestimmen.

Und hier stehe ich vollkommen auf dem Schlauch. Die TNF scheint mit meinem Ansatz nicht herauszukommen. Des Weiteren bin ich unschlüssig, mit was ich multiplizieren muss, damit ich die Lösungsmenge bestimmen kann: mit einer weiteren Matrix aus $$M_{22}( \mathbb{R})$$ oder doch dem Polynom?

Ich bin am verzweifeln.

Vielen Dank schonmal und einen schönen Samstagabend /Sonntag.

Grüße,

Franziska

Answer 1

Hallo :-)

Dein Ansatz ist schonmal richtig, sich das Polynom anzuschauen, um zu sehen, wann das Nullpolynom (Nullabbildung...) herauskommt. Und wie du richtig erkannt hast, muss also \(b = -a\) und \(d = -c\) gelten. Und das wars im Prinzip auch schon, da du jetzt weißt, wie deine Kernelemente (hier Matrizen) gebaut sein müssen, nämlich:

\(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & -a \\ c & -c \end{pmatrix}\).

Jetzt noch etwas umschreiben:

\(\begin{pmatrix} a & -a \\ c & -c \end{pmatrix}=a\cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+c\cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\). Jetzt kann man sich nochmals vergewissern, dass diese beiden Matrizen linear unabhängig sind. Dafür ,,rollt" man beide Matrizen aus:

\(\begin{pmatrix} 1\\-1\\0\\0 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). Beide Spaltenvektoren sind linear unabhängig, also auch dessen ihr zugeordneten Matrizen

\(\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\),

die nun eine Basis von \(\operatorname{Ker}(f)\) bilden.

Comments

Vielen, vielen Dank für die schnelle Hilfe!

Es beruhigt mich zu wissen, dass ich nicht völlig auf dem Holzweg war;)

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Sehr gerne.  :-)