Zeigen Sie anhand eines Gegenbeispiels, dass der Grenzwert in topologischen Räumen nicht eindeutig sein muss.

Question

Aufgabe

Sei \( X \) ein topologischer Raum und \( x \in X \). Eine Teilmenge \( U \subset X \) heiBt Umgebung von \( x \), wenn es eine offene Menge \( V \subset X \) gibt mit \( x \in V \subset U \). Sei \( \left(x_{n}\right) \subset X \) eine Folge von Punkten. Wir sagen \( \left(x_{n}\right) \) konvergiert gegen \( x \in X \) wenn zu jeder Umgebung \( U \subset X \) von \( x \) ein \( N \in \mathbb{N} \) existiert, sodass \( x_{n} \in U \) für alle \( n \geq N \). Zeigen Sie anhand eines Gegenbeispiels, dass der Grenzwert in topologischen Räumen nicht eindeutig sein muss. Wie verhält sich das, wenr man das Hausdorffaxiom annimmt?

Problem/Ansatz:

mir ist halbwegs klar, wieso der allgemeine Konvergenzbegriff nicht ausreicht, um eine eindeutige Konvergenz zu zeigen.

Der Ansatz zu diesem Teil, wozu ich noch fragen habe :

Betrachten wir die menge x mit mehr als einem Element und die Topologie auf X mit der leeren Menge und X. Dann gibt es für jedes Element nur eine einzige Umgebung (wegen der leeren Menge oder?), x selbst. Sei nun (a_n )_neN eine Folge in x, dann liegen alle Folgeglieder in jeder Umgebung eines beliebigen Elements a aus X (wie ist der Satz zu verstehen?). Jede Folge in X konvergiert also gegen jedes Element von X, und da X nach Voraussetzung mehr als ein Element hat, ist der Grenzwert insbesondere nicht eindeutig.

(Antwort aus einem ähnlichen Post, nur fehlt leider die Erklärung zu dem Hausdorffaxiom)

nun zu Hausdorff, hier habe ich leider keinen Ansatz und hoffe auf Hilfe!

Answer 1

Sorry, ich hatte deine Frage eben nicht ganz gelesen. Du hast den Großteil ja bereits beantwortet. Die Hausdorff-Eigenschaft ist wichtig, um Punkte voneinander trennen zu können.

Ist \((X,\tau)\) Hausdorffsch und gibt es zu \((x_n)_n\subset X\) einen Punkt \(x\in X\), so dass \(\lim\limits_{x\to\infty}x_n=x\) in \((X,\tau\)) gilt, so ist \(x\) eindeutig bestimmt.

Um das zu zeigen, sei \(y\in X\setminus \{x\}\) ein Punkt mit \(\lim\limits_{x\to\infty}x_n=y\). Dann existieren \(U_x,U_y\in \tau\) mit \(U_x\cap U_y=\varnothing\), da \((X,\tau)\) Hausdorffsch ist. Wegen der Konvergenz existiert darüber hinaus \(N_x\in \mathbb{N}\), mit \(x_n\in U_x\) für alle \(n\geq N_x\) und \(N_y\in \mathbb{N}\) mit \(x_n\in U_y\) für alle \(n\geq N_y\). Also ist \(x_n\in U_x\cap U_y\) für alle \(n\geq \max \{N_x,N_y\}\), was ein Widerspruch ist. Daher ist \(x\) eindeutig.

Comments

U_x stellt die offene Umgebung von x dar und U_y die offene Umgebung um y oder?

was genau soll N darstellen ?

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Genau, der Beweis geht wie folgt:

Voraussetzung: \(x_n\to x\)

Angenommen es gibt einen weiteren Punkt, der auch in \(X\) liegt, aber nicht \(x\) ist, so dass \(\lim\limits_{x\to\infty}x_n=y\). Danach arbeite ich einfach mit der Definition für Konvergenz + Hausdorff-Eigenschaft, um zu zeigen, dass das nicht möglich ist.

Es sei \( \left(x_{n}\right)_{n} \subset X \) eine Folge. Wir sagen \( \left(x_{n}\right)_{n} \) konvergiert gegen \( x \in X \) bzgl. \( \tau \) (in Zeichen \( x_{n} \rightarrow x \) für \( n \rightarrow \infty \) oder \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=x \) (bzgl. \( \tau \) oder in \( \left.(X, \tau)\right) \) ), wenn für jede Umgebung \( U \) von \( x \) ein \( N \in \mathbb{N} \) existiert, so dass \( x_{n} \in U \) für jedes \( n \geq N \) ist.

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okay vielen dank dafür, ich habe es verstanden

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es besteht noch eine kleine Verwirrung sorry

und zwar max{Nx ,Ny}, wie genau ist das in Worten ausgedrückt zu verstehen?