Negation von Aussagen. Richtg oder falsch?

Question

Ich muss folgende Aussagen negieren:

1. "Jedes Land hat eine Hauptstadt"

Meine Negation dazu lautet: Es gibt eine Land in der jede Stadt nicht die Hauptstadt ist.

Ist das richtig?

2. "Das Produkt dreier aufeinander folgender Zahlen ist stets durch 6 teilbar"

Hier weiß ich nicht wie ich angehen muss bzw. ich muss die Aussage erst einmal formal aufschreiben und da scheitert es schon bei mir.

Kann mir da einer bitze helfen?

Answer 1

Hallo:-)

Aussage 1 hast du richtig negiert. Es geht aber einfacher:

¬(Jedes Land hat eine Hauptstadt)

<=> Nicht Jedes Land hat eine Hauptstadt.

<=> Es gibt (mindestens) ein Land, dass keine Hauptstadt hat.

<=> Es gibt ein Land, in der jede Stadt nicht die Hauptstadt ist. (Deine Negation)

Falls du schon die Quantorenschreibweise kennengelernt haben solltest, kannst du deine Aussage mithilfe von Quantoren umformulieren:

Jedes Land hat eine Hauptstadt

<=> Für jedes Land gilt: Land hat eine Hauptstadt.

Jetzt führe ich eine Menge aller Länder ein. Ich nenne sie $L$ und jedes Element $l$ ist ein Land dieser Menge. Jetzt kommt die Quantorenschreibweise:

$\underbrace{\forall l\in L:\ l \text{ hat eine Hauptstadt}}_{=:A}$.

Negation von $A$:

$\neg A=\neg (\forall l\in L:\ l \text{ hat eine Hauptstadt})\\[10pt]\Leftrightarrow \exists l\in L:\ \neg(l\text{ hat eine Hauptstadt})\\[10pt]\Leftrightarrow \exists l\in L:\ l\text{ hat keine Hauptstadt}$

Aussage 2:

$B:=$"Das Produkt dreier aufeinander folgender Zahlen ist stets durch 6 teilbar"

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hier ist offenbar von der Menge der ganzen Zahlen die Rede, da Teilbarkeit erstmal standardmäßig für ganze Zahlen definiert wird, was man aber noch auf abstraktere allgebraische Strukturen verallgemeinern kann...

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Zur Aussage. Die kann man so umschreiben:

$B\\[10pt] \Leftrightarrow \text{Für alle ganzen Zahlen } z\in \mathbb{Z} \text{ gilt, dass }\\\quad \underbrace{z(z+1)(z+2) \text{ durch sechs teilbar ist.}}_{= 6|z(z+1)(z+2)}\\[10pt] \Leftrightarrow \underbrace{\text{Für alle ganzen Zahlen }z\in \mathbb{Z}\text{ gilt, dass }}_{\forall z\in \mathbb{Z}:} 6|z(z+1)(z+2)\\[10pt] \Leftrightarrow \forall z\in \mathbb{Z}:\quad 6|z(z+1)(z+2)$

Kannst du daraus eine Negation formulieren?

Comments

Die Negation wäre dann ∃z∈ℤ: 3 teilt nicht z(z+1)(z+2) oder?

---

Ja genau. Du kannst das auch wieder etwas verkürzt aufschreiben.

,,teil nicht" hat das Symbol $\not |$. Also hast du etwas kürzer:

$\exists z\in \mathbb{Z}:\space 6 \not | z(z+1)(z+2)$.

---

Okay, ich bedanke mich sehr! :) ich habe den Ansatz jetzt verstanden

---

Das freut mich. :-)

---

Eine Frage hätte ich doch, ehm wieso teilen wir durch 3?

---

Ah Danke. Habs geändert. Sorry, wenn das jetzt so große Verwirrung verursacht haben sollte.

---

Nein nein, alles gut.

Answer 2

1. kürzer auch:

Es gibt ein Land, das keine Hauptstadt hat.

2. "Das Produkt dreier aufeinander folgender Zahlen ist stets durch 6 teilbar"

Negation:

Es gibt drei aufeinanderfolgende Zahlen, deren Produkt nicht durch 6 teilbar ist.

Comments

Okay, könnten Sie mir helfen, wie ich die zweite Aussage mathematisch aufschreiben muss, weil für 1 habe ich Folgendes aufgeschrieben:

Also "Jedes Land hat eine Hauptstadt" heißt ja übersetzt "∀L ∃S: S ist die HS"

Aber bei der zweiten Aufgabe weiß ich nicht, wie ich das zu formulieren habe..