Subtraktion von zwei Summen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie \( \left(\sum \limits_{k=2}^{16} k\right)^{2}-\left(\sum \limits_{k=2}^{16} k^{2}\right) \)

Problem/Ansatz:

Ich habe 0 raus. Das Quadrat habe ich einfach reingeholt in die Klammer zu K^2.

Möchte mich allerdings nochmal versichern, da ich oft Fehler mache bzw. manches einfach Quatsch ist. Hoffe, dass es aber so passen sollte;)

Answer 1

Hallo,

ein weniger eleganter Weg:

du kannst das Quadrat nicht "reinholen":$$(2+3+4+\cdots +16)^2\neq 2^2+3^2+4^2+\cdots + 16^2$$ Allerdings gilt nach Nikomachos von Geresa ("Nicomachu's Theorem"), dass  \(\left(\sum \limits_{k=1}^{n} k\right)^{2}=\sum \limits_{k=1}^{n} k^3\), schreibe also:$$ \left(\sum \limits_{k=2}^{16} k\right)^{2}= \left(\left(\sum \limits_{k=1}^{16} k\right)-1\right)^{2}=\left(\sum \limits_{k=1}^{16} k\right)^2-2\sum \limits_{k=1}^{16} k+1=\sum \limits_{k=1}^{16} k^3-2\sum \limits_{k=1}^{16} k+1$$ Für die verbleibenden Potenzsummen gibt es bekannte geschlossene Darstellungen.

Comments

Danke für den Stern, ich möchte allerdings wieder betonen: Das ist sicherlich nicht der eleganteste Weg!

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Das mit dem Theorem ist echt interessant zu wissen!

Was in der Gleichung gemacht wurde, ist mir noch etwas unklar.

Weiß nicht, ob ich es richtig verstanden habe.

-Bei der Indexverschiebung ersetzt man ja k mit k+1

-Ich bin verwirrt mit dem minus 1

-Was danach kommt kann ich nicht mehr nachvollziehen

- Und ich verstehe nicht, wie das mit dem Öffnen der Klammer funktioniert hat?

Ich habe das erste Summenzeichen aus der Rechnung, also mir dem Quadrat außerhalb der Klammer mal direkt ausgerechnet. Es kam 18225 raus.

Bei deiner umschriebenen Form kommt bei mir immer was anderes raus, zwar 18192.

Wie würde man es denn in geschlossener Darstellung schreiben. Ich weiß nur, dass es sich hier vermutlich um die geometrische Reihe handelt:)

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-Ich bin verwirrt mit dem minus 1

$$\sum \limits_{k=2}^{16}k=2+3+4+\cdots +16 \\ \sum \limits_{k=1}^{16}k=1+2+3+4+\cdots + 16$$ Die zweite Version unterscheidet sich von der ersten nur dahingehend, dass man eine 1 addiert. Damit die beiden gleich sind, habe ich sie in der Antwort gleich wieder abgezogen.

Danach habe ich die zweite binomische Formel angewendet. Eine Verallgemeinerung für die Potenzsummen ist durch die Faulhabersche Formel gegeben, dort findest du auch die geschlossenen Formeln für deine Potenzsummen.

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Ich habe das erste Summenzeichen aus der Rechnung, also mir dem Quadrat außerhalb der Klammer mal direkt ausgerechnet. Es kam 18225 raus. Bei deiner umschriebenen Form kommt bei mir immer was anderes raus, zwar 18192.

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Vielen Danke für deine Rückmeldung! Jetzt ist es für mich verständlich:) Besonders, dass mit der Binom. F. macht jetzt Sinn für mich.

Ich denke, für mich persönlich, bin ich aber schneller es direkt auszurechnen. Das mit der Darstellung ist noch sehr neu für mich.

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Ich denke, für mich persönlich, bin ich aber schneller es direkt auszurechnen. Das mit der Darstellung ist noch sehr neu für mich

Was ist aber, wenn du von 2 bis 10000 summieren müsstest?

Answer 2

Bist du sicher, daß (2+3+4+5....+16)² das gleiche ergibt wie (2²+3²+4²+5²+6²+......16²)? Gib es einfach mit einer eventuell kleineren Zahlenreihe in deinen Taschenrechner ein!

Comments

jetzt sehe ich es auch. Sowas würde nur gehen, wenn es sich um ein Produktzeichen gehandelt hätte, wenn ich mich nicht täusche.

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Ich habe es handschriftlich ausgerechnet und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:

18225-1495=16730

Ich denke es ging hier ums direkt ausrechnen, nicht um etwas zu umschreiben. Wahrscheinlich sollte gerade dieser Unterschied nochmal verdeutlicht werden.