Hallo :-)
Du hast die Restgliedabschätzung falsch berechnet. Wo kommt denn bitte der Ausdruck \(\frac{0(\xi)}{5!}x^5\) her? ^^
Der Zähler ist falsch. Da du im Punkt \(c=0\) entwickelst und \(e^x\) an der Stelle \(0.5\) auswerten willst, musst du deine Restgliedabschätzung auch auf dem Intervall \([0,0.5]\) vornehmen. Darauf musst du nun dein Restglied \(R_4(x)=\left |\frac{f^{(5)}(\xi)}{5!}x^5\right |\) maximieren. Das kannst du zb so machen:
\(\begin{aligned}R_4(x)&=\left |\frac{f^{(5)}(\xi)}{5!}x^5\right |\\&=\frac{e^{\xi}}{5!}x^5\leq \frac{e^{\xi}}{5!}\left(\frac{1}{2}\right)^5\leq \frac{e^{\frac{1}{2}}}{5!}\left(\frac{1}{2}\right)^5\leq \frac{4^{\frac{1}{2}}}{5!}\left(\frac{1}{2}\right)^5\\&=\frac{2}{5!}\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{2}{120}\cdot \frac{1}{2^5}=\frac{1}{120}\cdot \frac{1}{2^4}<\frac{1}{100}\cdot \frac{1}{10}=10^{-3}\end{aligned}\)
