(Näherungsrechnung) Lagrange-Restglied

Question

(Näherungsrechnung)

(a) Benutzen Sie das Lagrange-Restglied, um zu zeigen, dass für eine Berechnung von $\sqrt{e}$ mit einer Genauigkeit von $10^{-3}$ das Taylorpolynom (für die Exponentialfunktion) vom Grad 4 ausreichend ist. Bestimmen Sie die entsprechende Näherung von $\sqrt{\mathrm{e}}$ als Bruch. Entwicklungswert bei c=0.

Ich habe bis jetzt folgendes gemacht:

Folgendes Problem: ist das bis jetzt richtig? Und wie mache ich weiter ?... mein Kopf pocht schon regelrecht. Würde mich über Hilfe freuen! ^^

Answer 1

Hallo :-)

Du hast die Restgliedabschätzung falsch berechnet. Wo kommt denn bitte der Ausdruck $\frac{0(\xi)}{5!}x^5$ her? ^^

Der Zähler ist falsch. Da du im Punkt $c=0$ entwickelst und $e^x$ an der Stelle $0.5$ auswerten willst, musst du deine Restgliedabschätzung auch auf dem Intervall $[0,0.5]$ vornehmen. Darauf musst du nun dein Restglied $R_4(x)=\left |\frac{f^{(5)}(\xi)}{5!}x^5\right |$ maximieren. Das kannst du zb so machen:

$\begin{aligned}R_4(x)&=\left |\frac{f^{(5)}(\xi)}{5!}x^5\right |\\&=\frac{e^{\xi}}{5!}x^5\leq \frac{e^{\xi}}{5!}\left(\frac{1}{2}\right)^5\leq \frac{e^{\frac{1}{2}}}{5!}\left(\frac{1}{2}\right)^5\leq \frac{4^{\frac{1}{2}}}{5!}\left(\frac{1}{2}\right)^5\\&=\frac{2}{5!}\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{2}{120}\cdot \frac{1}{2^5}=\frac{1}{120}\cdot \frac{1}{2^4}<\frac{1}{100}\cdot \frac{1}{10}=10^{-3}\end{aligned}$

Comments

Es gilt ja f^(5)(x)=e^x, damit gilt R(x)=e^ξ/120 * x⁵ für ein ξ zwischen 0 und x . Keine Ahnung, wo du da 0(ξ) hernimmst. Du willst ja für x=0.5 'ne Abschätzung treffen; also hast du dann R(0.5)=e^ξ/120 * 0,5⁵ mit ξ zwischen 0 und 0,5.

Zeige nun, dass |e^ξ/120 * 0,5⁵|<10^(-3) für alle ξ zwischen 0 und 0,5 gilt.

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Wo kommt bei dir die 4 in 4^(1/2) her?

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$e^{0.5}$ kannst du ja schlecht ausrechnen, wenn du das gerade annähern willst. Daher habe ich diesen Term mit $4^{0.5}$ nachoben abgeschätzt.

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hallo97 und Kingboy ich danke euch sehr! Eure Antworten machen mir einiges nun klarer !

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Sehr gut. :-)