Rekursiv definierte Folge mit Bruch über n∈ℕ

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die rekursiv definierte Folge über n∈ℕ

        \(a_1 \coloneqq 1\qquad a_{n+1}=\frac{2+a_n}{1+a_n} = 1 + \frac{1}{1+a_n}\)

Beweist, dass die rekursive Folge (a_n)_n∈ℕ für alle n∈ℕ beschränkt ist. Ermittelt hierfür eine geeignete obere Schranke, die ihr danach induktiv beweist. Nehmt für die untere Schranke 1.

Ich habe Probleme bei der oben stehenden Aufgabe, wie löse ich diese am besten? Vielen Dank im Voraus. :)

Comments

(die drei an sollten a_n sein, können hier aber wegen dem Bruch nicht dargestellt werden)

Ich habe den Satz mal entfernt :-)

Answer 1

Hallo

1. klar ist, dass a_n immer >=1 ist, damit ist 1/(1+a_n) am größten wenn  wenn der Nenner am kleinsten ist  also bei  a_n=1 ist. also ist a2=1+1/2 für n>1  also an<=1,5

natürlich kannst du dann zeigen, wenn 1<a_n<1,5 folgt a_n+1<1,5

Gruß lul

Comments

Okay super danke :)

Ich soll noch zeigen, dass die Folge immer abwechselnd steigt und fällt und somit keine Monotonie aufweist. Das soll ich dann für alle n∈ℕ zeigen

Kannst Du mir da auch weiterhelfen?