Vielfachheiten der Eigenwerte nachweisen

Question

Aufgabe:

Sei \( \mathcal{K}_{n}=\mathcal{I}_{n}-n^{-1} \mathbf{1}_{n} \mathbf{1}_{n}^{\prime} \), wobei \( \mathcal{I}_{n} \) die \( (n \times n) \) -Einheitsmatrix und \( \mathbf{1}_{n}=(1, \ldots, 1)^{\prime} \)
einen \( n \) -dimensionalen Vektor von Einsen bezeichnet, für ein \( n \in \mathbb{N} \).

Zeigen Sie, dass Kn den Eigenwert 1 mit der Vielfachheit n-1 hat und den Eigenwert 0 mit der Vielfachheit 1 hat.

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits gezeigt, dass Kn eine symmetrische und idempotende Matrix ist, d.h sie hat nur die Eigenwerte 0 und 1. Nur weiß ich nicht ganz, wie man die Vielfachheit nachweisen kann, würde mich über jegliche Hilfe freuen!

Comments

Löse einfach die Eigenvektor-Gleichungen Kv=0 bzw. Kv=v.

Gruß Mahthilf

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Warum denn Kv=v? Meintest du nicht gleich 1?

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Die allgemeine Eigenvektor-Gleichung ist doch \(Av=\lambda v\)

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Könntest du es dann bitte mit Kv=0 lösen? Dann hätte ich ein Beispiel

Answer 1

Also dann (ich schreibe mal e für den Vektor mit lauter 1)

$$Kv=0 \iff v=\frac{1}{n}ee'v$$

Wenn es also überhaupt eine Lösung v gibt dann ist v=se, \(s \in \mathbb{R}\). Alle diese v erfüllen die Gleichung:

$$Kv=se-\frac{s}{n}ee'e=se$$

Also ist der Lösungsraum dieser Gleichung der Aufspann von e.

Gruß Mathhilf

Comments

Wieso ist der einheitsvektor nicht vorhanden?

Edit hat sich erledigt

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Was meinst du aber mit Aufspann von e?

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Warum folgt auch daraus, dass die Vielfachheit von 0 gleich 1 sein muss?

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Was verstehst Du unter Vielfachheit?

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Z.b wie oft kommt die 0 als lösung vor von der Gleichung A-lambda*E=0

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Hallo,

das klingt jetzt ein wenig unfreundlich, aber das, was Du da hingeschrieben hast ist Unsinn. Wenn Du in der Mathematik weiter kommen willst, wirst Du Dir etwas mehr Sorgfalt angewöhnen müssen.

Man unterscheidet zwischen algebraischer und geometrischer Vielfachheit, zwischen beiden Begriffen besteht eine gewisse Beziehung. Also schlag das bitte mal in Deinen Unterlagen nach.

Gruß Mathhilf.

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Von welcher Vielfachheit bis du ausgegangen?