Question

Wie leitet man folgenden Term genau auf?

(x + 1)² · ln (x + 1)

Mein Ansatz:

Bezüglich des ersten Faktors wäre es 1/3(x+1)² ... Aber wie das mit dem ln als weiterem Faktor funktioniert weiß ich nicht mehr

Answer 1

Aloha :)

Zum Integrieren hilft hier die partielle Integration:

$$\int\underbrace{(x+1)^2}_{=u'}\cdot\underbrace{\ln(x+1)}_{=v}\,dx=\underbrace{\frac{(x+1)^3}{3}}_{=u}\;\underbrace{\ln(x+1)}_{=v}-\int\underbrace{\frac{(x+1)^3}{3}}_{=u}\;\underbrace{\frac{1}{1+x}}_{=v'}\,dx$$$$\qquad=\frac{(x+1)^3}{3}\ln(x+1)-\int\frac{(x+1)^2}{3}dx=\frac{(x+1)^3}{3}\ln(x+1)-\frac{(x+1)^3}{9}+c$$$$\qquad\frac{1}{9}(x+1)^3\left(3\ln(x+1)-1\right)+c$$