Anwendung von Extrempunkten

Question

Aufgabe:

Anwendung von Extrempunkten:

Ein Fluss verläuft durch ein Steppengebiet. Dabei durchfließt er

ein undurchdringliches Walkstück. Sein Verlauf wird grob durch
die Funktion f(x) =1/3x³− 2x² + 3x + 1  erfasst. Berechnen Sie
den nördlichsten Punkt innerhalb des Waldstücks, der auf dem
Wasserweg erreicht werden kann.

Problem/Ansatz:

Ich schreibe in einer Woche eine Klausur. Kann mir Bitte jemand behilflich sein wie man solche Aufgaben berechnet. Es wäre echt lieb wenn sie mir sozusagen vorgerechnet wird und ich dann das als Musterlösung für all die anderen Textaufgaben nehme.

Lieben dank im Voraus :)

Comments

Da gibt es in der Aufgabenstellung doch sicher ein Bild, damit man sich etwa vorstellen kann, um was es geht, d.h. wo in Relation zum Flussverlauf der Wald in der Steppe liegt?

Das ist die genannte Funktion:

Auf einer Karte liegt Norden üblicherweise oben, d.h. wenn sich der Wald in der Region x = 1 befindet, dann ist dieses Maximum gemeint.

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genau Super die Zeichnung bzw. Bild sollte genauso aussehen. Wie müsste ich jetzt vorangehen? also Rechnerisch...

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Das Bild aus der Aufgabe hier einstellen, damit man sich etwa vorstellen kann, um was es geht, d.h. wo in Relation zum Flussverlauf der Wald in der Steppe liegt.

Answer 1

Leider hast du die Grenzen des Waldstückes nicht angegeben. Deshalb lege ich sie mit x=3 und y=3 selbständig fest. Auch wird nicht gesagt, dass die Koordinatenachsen die Himmelsrichtungen anzeigen. Ich lege also fest:

Dann ist der nördlichste Punkt das Maximum von f(x) =1/3x³− 2x² + 3x + 1, also eine der beiden

Nullstellen von f '(x)=x²-4x+3. Die quadratische Gleichunng 0=x²-4x+3 hat die Lösungen x₁ = 3 und x₂ = 1. Beide muss man in die zweite Ableitung: f ''(x)=2x-4 einsetzen. Da f ''(1)<0 ist, liegt bei x=1 das Maximum. f(1)=7/3.Dann ist der nördlichste Punkt P(1|7/3).

Wenn das Waldstück anders begrenzt sein sollte, kann der nördlichste Punkt auch auf dem Rand des Waldgebietes liegen. Dann braucht man keine Ableitung sondern den Funktionswert auf dem Rand.

Answer 2

Im Normalfall ist der Norden die obere Kante der Karte (Bild)

also ist der nördlichste Punkt dann dort,wo das Maximum ist

f(x)=1/3*x³-2*x²+3*x+1  nun eine Kurvendiskussion durchführen

f´(x)=0=x²-4*x+3  Nullstellen mit der p-q-Formel x1,2=-p/2+/-Wurzel((p/2)²-q)

p=-4 und q=3

x1,2=-(-4)/2+/-Wurzel((-4/2)²-3)=2+/-Wurzel(1)=2+/-1

x1=2+1=3  und x2=2-1=1

nun prüfen,on Maximum oder Minimum

f´´(x)=2*x-4  → f´´(3)=2*3-4=6-4=2>0 → Minimum

f´´(1)=2*1-4=-2<0 → Maximum

~plot~1/3*x^3-2*x^2+3*x+1;[[-5|5|-10|10]];x=1 ~plot~