Geometrische Reihe Reihenenwicklung

Question

Ich soll folgendes zeigen:

\( \frac{1-x}{1+x} \) = 1+2 \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{} \) \( (-1)^{k} \) \( x^{k} \) 

Ich wollte hierbei mit der Geometrischen Reihe arbeiten, weiß aber nicht wie ich das angehen soll wenn im linken Teil in x im Zähler steht.

Wäre über jede Hilfe dankbar.

Answer 1

Betrachte mal erst nur die Summe. Das ist die

geometrische Reihe mit q= - x allerdings ohne

den ersten Summanden, also ist das 1/(1-q)  - 1

=  q / ( 1-q )  hier also  -x / ( 1+x) .

Also bleibt zu zeigen

(1-x) / (1+x) = 1 + 2 (-x) / (1+x)

<=>  (1-x) / (1+x) = 1    -  2x  / (1+x)

<=>  (1-x) / (1+x) = (1+x) / ( 1+x)     - 2x / (1+x)

und das passt !

Comments

Jetzt hab ichs verstanden, sehr elegant, vielen Dank :)